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Forte convexité
Posté par souki
Bonjour,
Je rencontre dans un livre la définition suivante de la forte convexité :
Citation :
Une fonction
définie sur un convexe 
est dite fortement convexe de paramètre 
si elle est convexe sur et si  \le \dfrac{f(x)+f(y)}{2}-\dfrac{\alpha}{8}\|x-y\|^2)
Une fonction
Ceci n'est pas la définition que notre professeur nous a donnée, a savoir :
Citation :
Une fonction définie sur un convexe est dite fortement convexe de paramètre si ![\forall x,y \in U \quad \forall t \in [0,1] : f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)-\dfrac{\alpha t(1-t)}{2}\|x-y\|^2](https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\forall x,y \in U \quad \forall t \in [0,1] : f(tx+(1-t)y)\le tf(x)+(1-t)f(y)-\dfrac{\alpha t(1-t)}{2}\|x-y\|^2)
Une fonction
J'essaie de montrer que la première définition implique la deuxième.
Pour cela, j'ai tenté de prendre pour x et y dans la première définition différentes expressions en fonction du t et du x et y que je me donne pour montrer la deuxième définition. Par exemple, j'ai pu montrer que pour tout t, x et y :
mais je n'arrive toujours pas à tomber sur l'inégalité de la deuxième définition.
En fait, la première définition donne une inégalité sur le milieu du segment [x,y] seulement. C'est donc possible de l'appliquer pour le quart, le un huitième, etc …
Mais là je tombe sur des fractions dyadiques, et je ne sais pas trop d'où les prendre.
Aurier vous une idée ?
Bien cordialement.
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