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Fraction rationnelle

Posté par Squale (invité) 07-06-05 à 20:55

Bonsoir, demain j'ai une épreuve de math et je n'arive pas a faire cet exo:

Décomposer en élément simples la fraction rationnelle

f(x)=(2x²+4x)/((x+1)(x²+1))

Calculer la primitive (2x²+4x)/((x+1)(x²+1)dx

Merci pour vos réponse

Posté par
Nightmarere : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:03

Bonsoir

Un élément simple de premiére espéce associé au pôle x=-1 de multiplicité 1 :
3$\rm \frac{A_{1}}{x+1}

Un élément simple de deuxiéme espéce associé au polynôme irréductible x²+1 : 3$\rm \frac{A_{2}x+A_{3}}{x^{2}+1}

On obtient alors :
3$\rm \frac{2x^{2}+4x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A_{1}}{x+1}+\frac{A_{2}x+A_{3}}{x^{2}+1}

Aprés réduction au même dénominateur on obtient :
3$\rm \frac{2x^{2}+4x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{(A_{1}+A_{2})x^{2}+(A_{2}+A_{3})x+A_{1}+A_{3}}{(x+1)(x^{2}+1)}
Soit par identification :
3$\rm \{{A_{1}=-1\\A_{2}=3\\A_{3}=1

On en déduit :
3$\rm \frac{2x^{2}+4x}{(x+1)(x^{2}+1)}=-\frac{1}{x+1}+\frac{3x+1}{x^{2}+1}

A toi de jouer pour les primitives


Jord

Posté par Squale (invité)re : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:05

Merci

Posté par Squale (invité)re : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:07

Comment on fait déja les primitive stp

Posté par
Nightmarere : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:08

En quel niveau es-tu ? Tu traites la décomposition en élément simple mais tu ne sais pas faire ce genre de calcul de primitive trivial ? il y a un probléme

Posté par Squale (invité)re : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:21

non

Posté par
Nightmarere : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:22

3$\rm -\frac{1}{x+1}+\frac{3x+1}{x^{2}+1}=-\frac{1}{x+1}+\frac{3}{2}\times\frac{2x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}

On en déduit :
3$\rm \Bigint \frac{4x^{2}+2x}{(x+1)(x^{2}+1)}dx=-ln|x+1|+\frac{3}{2}ln|x^{2}+1|+arctan(x)


Jord

Posté par Squale (invité)re : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:25

Merci beaucoup

Posté par
Nightmarere : Fraction rationnelle 07-06-05 à 21:26

Posté par boustoufle (invité)re : Fraction rationnelle 20-06-05 à 21:08

Tu peux aussi utiliser la méthode des limites afin de trouver les A,Bet C dans ta décomposition simple.

Posté par
ottore : Fraction rationnelle 20-06-05 à 21:11

Oui c'est moins lourd que de résoudre un tel système.
A+


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