bonsoir
pouvez vous m'aider pour la question suivante
soit P polynome de degre n ayant n racines distinctes k , mq 1/P'(k) =0 avec k de 1 a n
j'ai essaye de partir de la décomposition en elements simples de 1/P(x) = 1/(x-k) = ak/(x-k)
ou ak = 1/(k-i) ou i de 1 a n et different de k et qui vaut aussi ak = 1/P'(k) mais je n'arrive pas a prouver que la somme est nul , j'ai essaye avec des valeurs numeriques ca a marche mais je n'ai pas pu descellé le mécanisme.
merci a vous
Hello ! Ca marche pas pour n=1.
Indication : Pour n>1 on remarque que x/P(x) tend vers p quand x tend vers l'nfini.
Yosh2
tu es bien parti, ton idée est bonne
reste à regarder la limite que lionel52 et moi te suggérons
Il faut généraliser ce qui suit ( où n = 3 ).
On suppose que K est un corps commutatif ayant 3 éléments au moins a , b et c .
On pose P := (X - a)(X - b)(X - c)
On a : P' = (X - b)(X - c) + (X - a)(X - c) + (X - a)(X - b)
P'(a) = (a - b)(a - c)
P'(b) = (b - a)(b - c)
P'(c) = (c - a)(c - b)
En décomposant 1/ (X - b)(X - c) en éléments simples on obtient
1/P'(a) = 1/(a - b)(b - c) + 1/(a - c)(b - c)
Et de même
1/P'(b) = 1/(b - c)(c - a) + 1/(b - a)(c - a)
1/P'(c) = 1/(c - a)(a - b) + 1/(c - b)(a - b)
On voit que 1/P'(a) + 1/P'(b) + 1/P'(c) = 0 .
pourquoi partir sur une autre méthode alors que l'auteur a commencé d'une façon qui mène au résultat avec un petit coup de pouce final ?
ne peut-on pas attendre qu'il termine en participant à son post ?
bonjour
en suivant l'indication de matheuxmatou et de lionel52 je trouve lim X/P(X) = lim X/X-k = 0 , d'autre part lim X/P(X) = lim Xak/(X-k) = ak( l'interversion de la somme et la limite est justifie par les operations sur les limites ) , d'apres le résultat précédent on déduit ak = 0 puis 1/P'(k) = 0
aussi merci a etniopal pour l'autre méthode que je comprends parfaitement pour des petites valeurs de n , mais pour un n quelconque je trouve la manipulation de plusieurs somme et produits imbriques n'est pas très aisée
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