bonsoir

et si tu regardais la limite de X/P(X) quand X tend vers l'infini

(je présume n>1 ?)

Hello ! Ca marche pas pour n=1.
Indication : Pour n>1 on remarque que x/P(x) tend vers p quand x tend vers l'nfini.

p ??????

lionel52
pardon, je croyais que c'était Yosh2 qui répondait !

Yosh2

tu es bien parti, ton idée est bonne

reste à regarder la limite que lionel52 et moi te suggérons

P =  _k (X - a_k))
P' = _j Q_j où  Q_j =  _kj (X - a_k))

P'(a_j) = Q_j(a_j) =  _kj (a_j - a_k))

        
    Il faut généraliser  ce qui suit ( où  n = 3 ).
    On suppose que K est un corps commutatif ayant 3 éléments au moins  a , b et c .
On pose P := (X - a)(X - b)(X - c)
On a : P' = (X - b)(X - c) + (X - a)(X - c)  + (X - a)(X - b)
P'(a) =   (a - b)(a - c)
P'(b) =  (b - a)(b - c)
P'(c)  =  (c - a)(c - b)

   En décomposant  1/ (X - b)(X - c)   en éléments simples on obtient  
   1/P'(a)  =  1/(a - b)(b - c) + 1/(a - c)(b - c)    
Et de même
1/P'(b)  =  1/(b - c)(c - a)  + 1/(b - a)(c - a)
1/P'(c) = 1/(c - a)(a - b)  + 1/(c - b)(a - b)
On voit que  1/P'(a) + 1/P'(b) + 1/P'(c) = 0 .

pourquoi partir sur une autre méthode alors que l'auteur a commencé d'une façon qui mène au résultat avec un petit coup de pouce final ?

ne peut-on pas attendre qu'il termine en participant à son post ?

bonjour
en suivant l'indication de matheuxmatou et de lionel52 je trouve lim X/P(X) = lim X/X-_k = 0 , d'autre part lim X/P(X) = lim Xa_k/(X-_k) = a_k( l'interversion de la somme et la limite est justifie par les operations sur les limites )  , d'apres le résultat précédent on déduit a_k = 0 puis 1/P'(_k) = 0
aussi merci a etniopal pour l'autre méthode que je comprends parfaitement pour des petites valeurs de n , mais pour un n quelconque je trouve la manipulation de plusieurs somme et produits imbriques n'est pas très aisée