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Fractions continues
Bonjour,
Je m'intéresse actuellement aux fractions continues définies comme, par exemple :
Racine(2) = 1+1/( 2+1/( 2+1/( 2+1/(...) ) ) )
On écrit alors : Racine(2) = [1;2,2,2...]
Racine(3) = 1+1/( 1+1/( 2+1/( 1+1/(...) ) ) )
On écrit alors : Racine(3) = [1;1,2,1,2...]
Racine(14) = 3+1/( 1+1/( 2+1/( 1+1/( 6+1/( 1+1/( 2+1/(...) ) ) ) ) ) )
On écrit alors : Racine(14) = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...]
J'indique la période par les soulignés.
Pour info, il y a les fameux :
nombre d'or, phi = (1+rac(5))/2 = 1,618..
phi = 1+1/( 1+1/( 1+1/( 1+1/(...) ) ) )
On écrit alors : phi = [1;1,1,1,1...]
e = 1,7 1828 1828 ... :
e = 2+1/( 1+1/( 2+1/( 1+1/(...) ) ) )
On écrit alors : e = [1;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8...]
Question ; je voulais savoir s'il était démontrable que les décompositions des racines de nombre entiers étaient périodiques ?
Merci
Philoux
oups !
e = 1,7 1828 1828 ... :
e = 2+1/( 1+1/( 2+1/( 1+1/(...) ) ) )
On écrit alors : e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8...]
Philoux
philoux
tu peux aller voir le developement decimal d'un nombre, il y a des conditions pour la periodicité....
>aicko 19:28
tu peux aller voir le developement decimal d'un nombre
on fait comment, stp ?
Philoux
Salut,
Oui ça se démontre, il y a même une forme de "réciproque".
Théorème de Lagrange : Le développement en fraction continue d'un irrationnel x est périodique si et seulement si x est un irrationnel quadratique.
cf http://www.infty08.net/dudeFraCont.pdf
Merci tutu pour ce pdf qui est qqpeu au-dessus de mon niveau...
Qu'appelle-t-on des irrationnels quadratiques ?
Dans le pdf (en page 2/11), ils les définissent par :
∀ x irrationnel quadratique (entiers algébriques de degré 2)
Philoux
Salut
On va essayer d'utiliser des termes simples.
Un irrationnel quadratique est un élément irrationnel, c'est à dire qu'il appartient à et qui est solution d'une équation du second degré dans
en gros un polynôme du second degré l'annule (c'est son polynôme minimal même)
Comme exemple est bien un tel irrationnel puisqu'il vérifie
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