Salut ! En fait je sais pas comment je vais attaquer la question b


Voilà l énoncé de l exercice


On se propose de montrer que tout
rationnel de ]0, 1[ s'´ecrit comme somme d'inverses d'entiers naturels deux `a
deux distincts. Ce type d'´ecriture, utilis´e par les Egyptiens dans l'Antiquit´e, n'a ´
pas un tr`es grand int´erˆet, mais la preuve du r´esultat est un bon exemple de
raisonnement par r´ecurrence.
a) Soit x un rationnel de ]0, 1[. On ´ecrit donc
x = m
n , (m, n) ∈ N∗2
, m < n.
On effectue la division euclidienne de n par m :
n = qm + r, q ∈ N∗, r ∈ {0, . . . , m − 1}.
On suppose que x n'est pas l'inverse d'un entier, c'est-`a-dire que m ne divise
pas n ou encore que r 6= 0.
Montrer que x − 1
q + 1 peut s'´ecrire sous la forme :
m0
n0 , n0 ∈ N∗, m0 ∈ {1, . . . , m − 1}.
b) En utilisant une hypoth`ese de r´ecurrence judicieuse, d´emontrer la pro￾pri´et´e voulue.
c) Constater que la d´emonstration pr´ec´edente fournit en fait un algorithme
de d´ecomposition. Appliquer cet algorithme `a x = 5/17