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frontière
Bonsoir tout le monde , s'il vous plaît je bloque depuis une heure sur un exercice ,
E designe un espace vectoriel normé , A une partie de E , et B est le complémentaire de A dans E , et (a,b) appartient à AxB. Montrer que [a,b] rencontre Fr(A).
J'ai essayé de raisonner par l'absurde et , j'ai fait un schéma qui montre que si ils ne se rencontrent pas alors on a [a,b] est soit inclus dans A soit dans B ce qui est absurde , mais je n'arrive pas à le démontrer avec un raisonnement
Si a ou b est sur la frontière de A, le résultat est évident.
Supposons a dans l'intérieur de A et b dans le complémentaire de l'adhérence de A.
Puisque a est un point intérieur, il existe une petite boule incluse dans l'intérieur de A, de centre a. Il existe un unique point du segment [a,b] qui soit à distance minimale de la frontière et dans cette boule à la fois (projection sur un convexe fermé)
Par récurrence, on construit une suite de points intérieurs, aussi proches de la frontière qu'on le souhaite et sur le segment.
Similairement, on construit une suite de points extérieurs (en partant de b), aussi proches de la frontière qu'on le souhaite et sur le segment.
Chacune des deux suites construites a une sous-suite qui converge (par compacité du segment, Bolzano weierstrass), vers un élément de l'adhérence de A. Comme elles sont adjacentes(pour la relation d'ordre que je te laisse trouver et qui met en jeu la distance d'un point à la frontiere), elles convergent vers le même élément. Comme le raccordement affine le long de ces sous-suites décrit un seul et même segment, continu, on en déduit que le segment [a,b] rencontre le frontière. En effet si ce n'était pas le cas, on aurait trouvé une suite convergente (tn) (abscisse convexe, réelle) vers un réel t telle que f(tn) ne converge pas vers f(t), ce qui contredirait la caractérisation séquentielle de la continuité.
soit et considère
f est continue avec f(0) = a et f(1) = b
posons y = f(x)
pour tout h > 0 et par définition de x il existe des réels t et u tels que x - h < t < x < u < x + h et f(t) 
A et f(u) B
tout voisinage de f(x) rencontre A et son complémentaire donc appartient à la frontière de A
carpediem j'ai pas compris le dernier passage de votre démonstration " tout voisinage de f(x) rentre A .... " pourquoi ceci est vrai ?
pardon mais je n'arrive toujours pas à comprendre le passage " tout voisinage de f(x) rencontre A ..." , on n'a pas parlé dans mon cours de la notion une base de voisinage , j'ai cherché sur internet mais je n'ai pas pu comprendre
alors laisse tomber le terme voisinage et mets boule à la place :
toute boule B(f(x, h) rencontre A et son complémentaire donc par définition f(x) appartient à la frontière de A ...
oui je sais que votre phrase parlait de B(f(x),h) pour tout h>0 , mais je n'arrive pas à voir pourquoi elle rencontre le complémentaire de A
même ci elle ne va pas rencontrer le complémentaire de A mais plutôt l'adhérence du complémentaire de A
soit
et
alors x = z et
f est continue avec f(0) = a et f(1) = b
posons y = f(x)
pour tout h > 0 et par définition de x il existe des réels t et u tels que x - h < t < x < u < x + h et f(t)
A et f(u) B
tout voisinage de f(x) rencontre A et son complémentaire donc appartient à la frontière de A
mais vous avez dit que a appartient à E , mais l'ensemble E est celui des valeurs réels appartenant à [0,1] ...... , et a n'est pas réel
soit
et
alors x = z et
f est continue avec f(0) = a et f(1) = b
posons y = f(x)
pour tout h > 0 et par définition de x il existe des réels t et u tels que x - h < t < x < u < x + h et f(t)
A et f(u) B
tout voisinage de f(x) rencontre A et son complémentaire donc appartient à la frontière de A
Bonjour !
Non seulement pas évident mais faux dans le cas suivant :
distance usuelle.
est réunion des carrés
et
.
..................................................................
On pourrait améliorer ainsi l'idée de carpediem (salut tatoi !)
Prendre .
La fonction est continue sur
.
Alors la suite est telle que
donc
Pour tout entier il existe
avec
de sorte que la suite
converge vers un point de
.
Il me semble qu'on peut ainsi considérer l'exercice faisable sans indication supplémentaire !
oui le pb est le cas où le segment [a, b] coupe la frontière deux fois et donc par conséquent inf F < sup E
mais il suffit de faire un dessin pour comprendre ce que je dis ... et adapter aux cas particuliers
dernière remarque : la suite n --> c - 1/n avec n dans N* est une "sous-suite" de la suite x --> c - 1/x avec x > 0
c'est pourquoi j'ai travaillé avec des boules de rayons h ... et où on aurait à nouveau pu prendre h = 1/n ...
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