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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Gauss et approximation de l'unité

Posté par
Ennydra
26-04-18 à 21:04

Bonjour,

Comment prouver que pour tout s>0, G_s(x) = \dfrac{1}{\sqrt{s}} \exp(-\dfrac{\pi x^2}{s}) est une approximation de l'unité quand s \rightarrow 0^+.

Prouver que chaque G_s est C^{\infty}, OK.
Mais comment prouver que \int_{\R} G_s(x) = 1 et que \int_{-\delta}^{\delta>0} |G_s(x)| dx \rightarrow 0 quand s \rightarrow 0^+.

M'appuyant sur la définition de l'intégrale de Gauss, je sais que \int_{\R} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\dfrac{\pi}{a}}. Dans mon exercice a=\dfrac{\pi}{s}. Ainsi \int_{\R} \exp(-\dfrac{\pi x^2}{s}) = \sqrt{s} et on a bien le résultat attendu.

Cependant je ne pense pas que ce soit suffisant d'écrire ça, car je ne prouve rien, je me base juste sur la définition de l'intégrale de Gauss en changeant a en pi/s. Qu'en pensez vous ?

De plus, je ne vois pas comment traiter le dernier point.
Quelqu'un pourrait me donner un petit coup de main ? Merci

Posté par
jsvdb
re : Gauss et approximation de l'unité 26-04-18 à 22:55

Bonjour Ennydra.
C'est le moment ou jamais d'utiliser le théorème de convergence dominée.

On pose  G : ]0;1] \times \R \rightarrow \R_+; G(s;x) = \dfrac{1}{\sqrt{s}} \exp(-\dfrac{\pi x^2}{s}).

Ennydra @ 26-04-2018 à 21:04

Prouver que chaque G_s est C^{\infty}, OK.

Ça, on s'en moque : ce qu'il faut c'est que G_s \in L^1(\R)

G est bien définie et continue sur son domaine. Ça, par contre, on s'en moque pas puiqu'on va étudier des limites.

Soit A > 0. Il vient en posant u^2 = \frac{\pi}{s}x^2 :

\begin {aligned}\int_{-A}^{A}{G(s;x)dx} = \frac{1}{\sqrt \pi}\int_{-\sqrt \pi A/\sqrt s}^{\sqrt \pi A/\sqrt s}{e^{-u^2}du} \underset{s\rightarrow 0}{\longrightarrow} 1\end {aligned}

Évidemment, cela nécessite de savoir que \begin {aligned}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}dx} = \sqrt \pi \end{aligned}.

Bien entendu, il faut tout justifier.

En revanche :

Ennydra @ 26-04-2018 à 21:04


Mais comment prouver que \int_{-\delta}^{\delta} |G_s(x)| dx \rightarrow 0 quand s \rightarrow 0^+.

Non ! C'est comment prouver que, pour \delta > 0 fixé :

\begin{aligned} \int_{[-\delta;\delta]^\complement} |G(s;x)| d\lambda(x) \underset{s\rightarrow 0}{\longrightarrow} 0\end{aligned}

et là, bien sûr, c'est encore le Théorème de convergence dominée qui donne la réponse, avec le même changement de variable.

NB : il y a juste besoin détudier \begin{aligned} \int_{\delta}^{\infty} |G(s;x)| dx \end{aligned}

Posté par
carpediem
re : Gauss et approximation de l'unité 27-04-18 à 00:20

salut

je ne vois pas pourquoi compliquer inutilement ...

et que ce que tu fais est suffisant ...

quand à la dernière partie on peut remarquer que :

1/ G_s est positive
2/ G_s est paire

je rejoins jsvdb sur l'idée "pédante" de convergence dominée :

et sur [0, d] avec d "pas trop grand" alors exp(-ax^2) < 2exp(-ax) avec a = pi/s

on peut alors intégrer cette inégalité puis faire tendre s vers 0 pour obtenir le résultat demandé ...

Posté par
Ennydra
re : Gauss et approximation de l'unité 27-04-18 à 22:32

Merci beaucoup à vous deux

Posté par
carpediem
re : Gauss et approximation de l'unité 28-04-18 à 12:46

de rien



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