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Niveau terminale
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Gauss spé maths

Posté par
Jsptrop
15-02-19 à 15:50

Bonjour Je ne comprends pas du tout comment commencer cet exercice.

a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux tels que a2+a=7b3    (1)

1) Justifiez que a et b3 sont premiers entre eux

2) a) demontrez que a divise 7
b) trouvez alors tous les couples (a;b) solutions de l'l'équation  (1)

Merci de votre aide

Posté par
mat-thieu
re : Gauss spé maths 15-02-19 à 16:01

Bonjour,

1)Cette question fait référence au fait que a et b sont premiers entre eux.
Si a et b n'ont aucun diviseurs en commun, qu'en est-il de a et b3 ...?

Posté par
Jsptrop
re : Gauss spé maths 15-02-19 à 16:16

Ah oui ! J'ai réussie la question 1 mais pas la 2

Posté par
mat-thieu
re : Gauss spé maths 15-02-19 à 16:36

2) a) GAUSS is your friend !

a3+a = a(a2+1)

Donc ... a(a2+1)=7b3

donc a divise 7b3.

Or, la question 1 te montre que a divise b3.

On applique le théorème

Posté par
flight
re : Gauss spé maths 15-02-19 à 19:40

salut

comme a et b sont premier alors il existe u et v tel que au+bv=1
en elevant cette expression au cube il vient ; (au+bv)3=1   soit  

a3.u3 +3aubv.(au+bv) + b3.v3=1

comme  au+bv=1    alors l'expression précedente devient  a3.u3 +3aubv + b3.v3=1  

c'est presque fini il manque juste une petite manip pour faire appaitre du a et du b3  dans le premier membre de l'equation   ...à toi

Posté par
carpediem
re : Gauss spé maths 16-02-19 à 13:07

salut

élever au carré suffit ...

si au  + bv = 1 alors

a^2u + 2aubv + b^2v^2 = 1 \iff a^2u + 2aubv + (au + bv)b^2v^2 = 1 \iff a(....) + b^3(...) = 1



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