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[geii] équation différentielle du 1er ordre non linéaire
Bonjour tout le monde, je suis en première année geii, j'aurai besoin d'aide pour un exo sur une équation différentielle du premier ordre non linéaire. Le problème est que l'on traite que les équations linéaires donc cet exo doit proposer une méthode pour résoudre les non linéaires.
Soit l'équation : (x+1).y.y' + y² = x.y^4/2
1) Poser Y=1/y , en déduire Y', puis remplacer dans (E).
Y=1/y donc Y'=-y'/y²
je modifie E pour faire passer le Y puissance 4 à gauche
j'obtiens :
(x+1).(y/y²).(y'/y²) + (y²/y^4)=(x/2)
donc
(x+1).(1/y).(y'/y²) + (1/y²)=x/2
je remplace avec les Y et Y', j'obtiens
(x+1).Y.(-Y')+ Y²=x/2
2) résoudre l'équation en Y et en déduire l'ensemble des solutions de (E) :
Ben c'est la que je bloque en fait car je me retrouve quand même avec une équation non linéaire et je ne sais pas quelle méthode employée.
:merci: de votre aidre
Bonjour,
Il y a peut-être plus simple : pose y² = z, donc 2yy' = z', l'équation devient :
(x+1)z'/2 + z = xz²/2
Maintenant divise tout par z² :
(x+1)z'/(2z²) + 1/z = x/2
Enfin pose 1/z = u, donc -z'/z² = u', l'équation devient :
-(x+1)u'/2 + u = x/2
Et cette équation est linéaire en u.
Je te remercie de m'aider, c'est vrai que ta méthode est plus simple mais comme l'exo est fait comme sa, je ne peux utiliser tes conseils.
merci quand même.
Bonjour !
Mais si, Zondervan, tu peux utiliser l'idée de LeHibou directement pour ton équation (x+1)Y(-Y)' + Y2 = x/2 en posant Z = Y2.
C'est juste une façon d'écrire la même chose :
au lieu de :
(x+1).Y.(-Y')+ Y²=x/2
tu écris :
-(1/2).(x+1).(Y²)' + (Y²) = x/2
et c'est bien une équation différentielle du premier ordre linéaire en (Y²) et sa dérivée (y²)'
Tu la résous, ce qui te donne la fonction Y²(x), puis avec la racine carrée tu obtiens Y(x).
Comme cela tu est content : il n'y a que des Y(x) dans tes écritures !!!
Remarque :
Quand on demande dans l'énoncé d'un problème << résoudre l'équation en Y >>, cela veut dire que l'on doit résoudre une équation où la fonction inconnue est Y.
Cela n'a jamais interdit de faire les changements d'inconnue que l'on veut pour arriver au résultat !!!
Bien au contraire, cela veut dire qu'il faut trouver le bon changement d'inconnue pour y arriver facilement (dans le cas présent, c'est Y²).
N'allons pas chercher midi à quatorze heures ... ce qui me rappelle qu'il est l'heure du casse-croûte.
Bye !
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