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Généralisation d'un résultat OIM
Bonjour 
Je viens de faire un exercice d'Olympiades Internationales en cours et mon prof nous a demandé d'en faire la généralisation.
Voici sans plus attendre l'énoncé.
Soit où n>1 entier.
Mq f(x) n'est pas le produit de deux polynômes dont chacun est à coefficients entiers et a un degré supérieur ou égal à 1.
J'ai traité relativement simplement cet exo en passant par le Critère d'Einstein et le raisonnement par l'absurde.
Il me faut maintenant généraliser ce résultat. Je pensais utiliser le théorème de Rouché, que voici :
Soit U l'intérieur d'un compact K du plan. Si f et g sont continues sur K, holomorphes dans U et si |f(z)-g(z) < |f(z)| pour tout z dans K-U alors f et g ont le même nombre de racines dans U (avec multiplicité).
Cependant, l'un de mes collègues voulait traiter ça en passant par le théorème de Perron, d'après lequel : Si dans Z tq
différent de 0 et que
alors P est irréductible dans Z[X].
Sa méthode a l'air plus simple mais je n'arrive pas à m'en convaincre ...
De plus, nous sommes obligés de démontrer tous nos outils.
Qu'en pensez-vous ?
Merci !
A & F
Salut !
généraliser c'est très vague quand même ! tu veux le généraliser à quoi ?
je vois pas trop le rapport avec le théorème de Rouché (le nombre de racines complexe ne te dit pas grand choses sur la réductibilité dans Z non ? )
Le théorème de Perron est une généralisation, le critère d'Eisenstein aussi...
Le prof nous a simplement demandé de "généraliser le résultat de l'énoncé".
En considérant le polynôme P proposé par l'énoncé du th de Perron et en posant on peut parvenir, en appliquant le th de Rouché pour les fonctions holomorphes, à montrer que P et Q ont tous deux n-1 racines dans le disque unité ouvert, donc P n'a qu'une racine de module sup ou égalà à 1.
On doit pouvoir faire un raisonnement par l'absurde en posant P = QR ...
Hum, je regarde ça.
Merci de ta réponse !
Bonjour,
Autre piste : 3 est premier donc un coefficient constant d'un des facteurs est + ou -1 donc les racines de ce facteurs ne peuvent pas être toutes de module < 1 .
Si la question est juste de généraliser, personellement je proposerai le critère d'Eisenstein qui est quand meme la généralisation la plus simple qu'on ai sous la main...
Sinon oui, le théorème de Rouché permet de prouver le théorème de Perron.
D'accord, merci.
Si j'utilise le th de Rouché je dois le démontre, je vais chercher vers la théorie des fonctions holomorphes.
Celle du th de Perron n'est pas dure.
Merci de votre aide !
Personellement, la seul preuve du th de Perron que je connaisse c'est celle que tu as mentionnné, en utilisant le théorème de Rouché. mais je comprend pas trop ce que tu veux faire : si tu connais une preuve qui n'utilise pas le théorème de rouché, pourquoi vouloir voir comment il se prouve. (parceque si tu veux en faire une preuve complete sans rien n'admettre en analyse complexe ca risque de prendre plusieur dizaine de pages ^^ )
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