Choix d'un repère orthonormé.
A comme origine.
La direction AB comme axe des abscisses.
La direction AC comme axe des ordonnées.

En posant |AB| = a et |AC| = b, on a:

A(0 ; 0)
B(a ; 0)
C(0 ; b)
I(a/2 ; b/2)

Equation de la droite (BC):
y = -(b/a)x + b

Les perpendiculaires à BC ont pour équation: y = (a/b).x + k
Celle passant par A -> k = 0
-> Equation de la droite (AH): y = (a/b).x


Les coordonnées de H se trouvent en résolvant le système:
y = -(b/a)x + b
y = (a/b).x

-> (a/b).x = -(b/a)x + b
x((a/b)+(b/a)) = b
x(a²+b²) = ab²
x = ab²/(a²+b²)
et y = a²b/(a²+b²)

H( ab²/(a²+b²) ; a²b/(a²+b²))
->
L(0 ; a²b/(a²+b²))
K(ab²/(a²+b²) ; 0)

Le coefficient directeur de (LK) = -[a²b/(a²+b²)]/[ab²/(a²+b²)] = -a/b
Le coefficient directeur de (AI) = (b/2)/(a/2) = b/a.

Le produit des coefficients directeurs de (LK) et de (AI) = -1
Et donc (LK) est perpendiculaire à (AI)
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Sauf distraction.  

Et en espérant n'avoir pas utilisé des notions que tu n'as
pas encore étudiées.