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géomètrie dans l'espace.

Posté par
dezdez 21-01-10 à 19:46

Bonsoir,

Voilà j'ai un exercice de maths qui me pose quelques petits problèmes...
Voici l'énoncé :

On considère la sphère (S), d'équation x²+y²+z²-3x=0, et le plan (P) d'équation x+y+z-1=0.
Démontrer que (P) coupe (S) suivant un cercle (C) dont on déterminera les coordonnées du centre H, et le rayon r.

J'ai tout d'abord pensez à poser le problème sous forme d'un système mais 2 équations pour 3 inconnues, je ne peux pas résoudre.

Je pense qu'il faut commencer par calculer le centre du cercle mais comment prouver que le plan coupe le cercle??

Pouvez vous m'aidez? Merci

Posté par
cailloux Correcteurre : géomètrie dans l'espace. 21-01-10 à 22:32

Bonsoir,

La sphère est de centre C(\frac{3}{2},0,0) et de rayon \frac{3}{2}

Pour qu' il y ait intersection, il faut que la distance de C au plan soit inférieure au rayon de la sphère: R=\frac{3}{2}

d(C,P)=\frac{|\frac{3}{2}-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}<\frac{3}{2}

Il y a donc bien intersection.

Le centre H du cercle intersection est la projection orthogonale de C sur le plan.

Soit r le rayon de ce cercle et M un point de ce cercle:

le triangle CHM est rectangle en H

Pythagore donne: CH^2+HM^2=CM^2

CH^2+r^2=R^2 avec CH=d(H,P)=\frac{1}{2\sqrt{3}} ...

Posté par
dezdezre : géomètrie dans l'espace. 21-01-10 à 23:25

merci pour ces informations !

mais comment à tu fais pour calculer les coordonnées du centre et le rayon?

Posté par
dezdezre : géomètrie dans l'espace. 21-01-10 à 23:33

c'est bon en faite j'ai trouver

encore merci!

Posté par
cailloux Correcteurre : géomètrie dans l'espace. 21-01-10 à 23:36

Re,

Normalement, il faudrait mettre l' équation de la sphère sous forme canonique:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 avec C(x_0,y_0,z_0)

Cela donnerait ici:

\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+y^2+z^2=\left(\frac{3}{2}\right) C\left(\frac{3}{2},0,0\right) et R=\frac{3}{2}

Mais avec un peu d' habitude, on voit tout de suite les coordonnées du centre:

Si l' équation de départ est:

x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0, on a C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2},-\frac{c}{2}\right)

Quant au rayon, on voit que cette sphère passe par O et R=OC=\frac{3}{2}


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