ABCD est un tétraèdre. M est le point du segment AB tel que AM=1/4*AB,
N est le point du segment AC tel que AN=3/4*AC et P le milieu du
segment AD.
1) Démontrer que (MN) coupe (BC) , que (NP) coupe (CD) et que (MP) coupe
(BD) .
2) On note I,J,K ces points d'intersection. Démontrer que ces trois
points sont alignés.
Le début a été démontré:
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Suite:
2)
Choix d'un repère: (A ; AB; AD; AC)
Dans ce repère, on a:
A(0 ; 0 ; 0)
B(1 ; 0 ; 0)
C(0 ; 0 ; 1)
D(0 ; 1 ; 0)
M(1/4 ; 0 ; 0)
P(0 ; 1/2 ; 0)
N(0 ; 0 ; 3/4)
Equations de la droite (MN):
y = 0
z = -3x + (3/4)
Equation de la droite(BC)
y = 0
z = -x + 1
Les cordonnées de I se trouvent en résolvant le système:
y = 0
z = -3x + (3/4)
z = -x + 1
On trouve: I(-1/8 ; 0 ; 9/8)
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Equations de la droite NP:
x = 0
z = -(3/2)y + (3/4)
Equations de la droite CD:
x = 0
z = -y + 1.
Les cordonnées de J se trouvent en résolvant le système:
x = 0
z = -(3/2)y + (3/4)
z = -y + 1.
On trouve: J(0 ; -1/2 ; 3/2)
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Equations de la droite MP:
z = 0
y = -2x + (1/2)
Equations de la droite BD:
z = 0
y = -x + 1
Les coordonnées de K se trouvent en résolvant le système:
z = 0
y = -2x + (1/2)
y = -x + 1
On trouve : K(-1/2 ; 3/2 ; 0)
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On a jusqu'à présent:
I(-1/8 ; 0 ; 9/8)
J(0 ; -1/2 ; 3/2)
K(-1/2 ; 3/2 ; 0)
Equations de la droite IJ:
9x + 3y + z = 0
x + y + z = 1
Voyons si les coordonnées de K satisfont les équations de la droite IJ:
9.(-1/2) + 3.(3/2) + 0 =? 0
-(9/2) + (9/2) = 0 -> OK pour la 1ère équation.
(1/2) + (3/2) + 0 =? 1
1 = 1 -> OK pour la 2éme équation.
Donc K est sur la droite IJ, les points i,J et K sont alignés.
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Sauf distraction.
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