Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Prepa (autre)
Partager :

géométrie et nombre complexes

Posté par
rttgtry
11-11-23 à 20:42

Bonjour, impossible de résoudre cette exercice après des heures à avoir essayer plein de méthode.

Soit zU/{1}. On considère les points A(1+z) et B(1-z). Montrer que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires.

Il faut que l'argument de OA et OB soit un imaginaire pur mais il nous manque le point. Aucun calcul concluant avec de nombreuse valeurs de O différentes :
O(x+iy), O(x'+iy'),O(x0;y0),O(0;0)

Posté par
lake
re : géométrie et nombre complexes 11-11-23 à 21:10

Bonsoir,
On peut montrer que (1+z)(1-\bar{z}) est un imaginaire pur.

Posté par
lake
re : géométrie et nombre complexes 11-11-23 à 21:57

Pour compléter :
Si, dans un repère orthonormé, deux vecteurs \vec{u} et vec{v} ont pour coordonnées (x,y) et (x',y') donc pour affixes z=x+iy et z'=x'+iy', on a :

xx'+yy'=\Re(z\bar{z'})

Posté par
rttgtry
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 15:10

Bonjour et merci de votre réponse,
cependant je ne vois pas le lien entre les points A et B ainsi que  (1+z)(1-\bar{z}) (qui ne me semble pas un imaginaire pur d'ailleurs).
Il faut montrer que arg(zB-zO/zA-zO)/2{2}

Posté par
lake
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 15:49

Citation :
Il faut montrer que arg(zB-zO/zA-zO)/2{2}

C'est une autre solution, oui.
Autrement dit,en supposant z\not=\pm 1, montrer que \dfrac{z_B}{z_A} est un imaginaire pur.
Autrement dit encore : \dfrac{z_B}{z_A}=-\dfrac{\bar{z_B}}{\bar{z_A}}

   \dfrac{1-z}{1+z}=-\dfrac{1-\bar{z}}{1+\bar{z}}

Compte tenu que |z|=1 soit z\bar{z}=1, ce n'est pas difficile à montrer.

Posté par
lake
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 16:13

Au fait, il existe aussi un argument géométrique :

Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
géométrie et nombre complexes

Posté par
lake
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 17:26

Je reviens sur ceci :

Citation :
cependant je ne vois pas le lien entre les points A et B ainsi que  (1+z)(1-\bar{z}) (qui ne me semble pas un imaginaire pur d'ailleurs).


et pourtant : (1+z)(1-\bar{z})=1+z-\bar{z}-\underbrace{z\bar{z}}_{1}=z-\bar{z}=2i\Im(z) qui est bien un imaginaire pur.

Posté par
carpediem
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 18:10

salut

le vocabulaire laisse à désirer :

rttgtry @ 11-11-2023 à 20:42

Il faut que l'argument de OA et OB soit un imaginaire pur mais il nous manque le point.
ne veut rien dire

il suffit qu'une mesure de l'angle orienté (OA, OB) soit pi/2 mod pi

donc que le quotient des affixes des vecteurs OA et OB soit imaginaire pur

puisque multiplier par un nombre complexe w revient (à homothétie près) à faire tourner un vecteur de l'angle arg (w)

et pour le résultat de lake remarquer alors que \dfrac {1 + z} {1 - z} = \dfrac {(1 + z))(1 - \bar z)}{(1 + z)( \bar {1 - z})} et le dénominateur est alors un réel (strictement positif) qui ne joue aucunement sur le dénominateur

Posté par
carpediem
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 18:11

avec un moins bien sûr !!

Posté par
jandri Correcteur
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 19:05

Bonjour rttgtry,

d'après ton premier message tu n'as pas l'air d'avoir compris que O désigne l'origine du repère.

Ensuite pour parler des droites OA et OB il faut supposer z différent de 1 et de -1.

Enfin cet exercice est immédiat si on pose z=x+iy (qui vérifie x^2+y^2=1) :
puisque le vecteur OA a pour coordonnées (1+x,y) et le vecteur OB a pour coordonnées (1-x,-y) le produit saclaire de OA par OB vaut 1-x^2-y^2=0.

Posté par
rttgtry
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 19:10

OK merci beaucoup, j'ai tout compris!
Mon incompréhension venait du fait que j'avais totalement oublié que zU/{1} et donc que |z|=1.
Il faut bien lire l'énoncé!

Posté par
jandri Correcteur
re : géométrie et nombre complexes 12-11-23 à 22:11

Oui, cela arrive à tout le monde de lire un peu vite un énoncé et de sauter une information importante.

Posté par
lake
re : géométrie et nombre complexes 13-11-23 à 13:46

Bonjour,

Si on veut rester proche du titre "Géométrie et nombres complexes" :
géométrie et nombre complexes



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !