Bonjour,
j'ai fait un exercice pour m'entrainer pour un contrôle sur la géométrie dans l'espace et le produit scalaire mais je n'ai pas la correction de ce dernier et ne peut donc pas savoir si il y a des erreurs/des éléments manquants. Pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est juste ?
Merci beaucoup !
(je ne suis pas parvenu à mettre les flèches des vecteurs ainsi que leurs coordonnées en colonne, etc... j'espère que cela ne nuira pas à la compréhension, désolé)

Enoncé :
Dans le cube ABCDEFGH on a placé les points M et N milieux respectifs des segments [AB] et [BC].
On se place dans le repère (A;AB;AD;AE)
1. Donner, sans justifier, les coordonnées des points H, M et N et vérifier qu'ils définissent un plan.
2.On admet que les droites (CD) et (MN) sont sécantes et on note K leur point d'intersection.
a. Donner une représentation paramétrique de la droite (MN).

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (CD) est x=t y=1 z=0 t

b. Déterminer les coordonnées du point K.
3. On admet que la droite (CG) et le plan (HMN) sont sécants. On note L leur point d'intersection.
a. Vérifier que le vecteur n(2 -2 3) est un vecteur normal au plan (HMN).
b. Déterminer une équation cartésienne du plan (HMN).
c. En déduire les coordonnées du point L.

4. Construire les points K et L puis la section du cube par le plan (HMN).



1.H(0;1;1) M(0,5;0;0) N(1;0,5;0)
Ces points définissent un plan si HM et HN ne sont pas colinéaires.
HM(0,5   -1   -1) et HN(1  -0,5  -1)
1/0,5≠-0,5/-1 ; Les vecteurs HM et HN ne sont pas colinéaires, H,M et N définissent un plan.


2.a. MN( 0,5 0,5 0)
M(MN)x=0,5+0,5k  y=0,5k et z=0 est une représentation paramétrique de la droite (MN).

b.On admet que (CD) et (MN) sont sécantes.
0,5+0,5k=t 0,5+1=t t=1,5
0,5k=1 k=2
0=0
avec k = 2 on a x=1,5 y=1 et z=0 donc K a pour coordonnées (1,5;1;0)


3.a. HM.n=2*0,5-2*(-1)+3*(-1)=0
HN.n= 2*1-2*(-0,5)+3*(-1)=0
n(2 -2 3) est un vecteur normal au plan HMN .

b. n(2 -2 3) est un vecteur normal au plan HMN; l'équation cartésienne du plan sera donc de forme 2x-2y+3z+d=0.
H(HMN)2*0-2*1+3*1+d=0
d=-1
2x-2y+3z-1=0 est une équation cartésienne du plan (HMN).

c. C(1;1;0) G(1;1;1)
CG(0 0 1)
représentation paramétrique de (CG) :
x=1   y=1    z=k
équation cartésienne du plan (HMN) :
2x-2y+3z-1=0
On admet que (CG) et (HMN) sont sécants :

2*1-2*1+3*k-1=0
k=1/3
Avec k=1/3 on a L(1;1;1/3)

4. Voir pièce jointe



Je n'ai pas forcément tout rédigé mais si il y a vraiment de grosses erreurs de rédaction ou des réponses incomplètes vous pouvez me les signaler !
Merci beaucoup !