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Géométrie vectorielle

Posté par
coatch
12-02-18 à 18:46

Bonsoir voici un exercice mais je ne sais pas par quoi commencer...

ABCDEFGH est un pavé droit.
Soit k le point vérifiant \vec{KA} + \vec{KC} + \vec{KH} = \vec{0}
1. Justifier que le point K appartient au plan (ACH)
2. Soit I le milieu de [AC]. Montrer quees points K, H et I sont alignés.
3. Montrer que le point K appartient au segment [DF] et donner se position sur ce segment.
4.Soit J le milieu de [DH]. Les points K, D, I,et J sont-ils coplanaires ?
Déterminer les réels x et y tels que \vec{DK} = x\vec{DI} + y\vec{DJ}

Merci de votre aide

Géométrie vectorielle

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 18:47

Pour la 1.

J'ai juste mis que nous allons prendre le repère (A, AC, AH)

et que AK = aAC+bAH

Mais après

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 18:55

Bonjour,
le repère (A, AC, AH)    OK
et que AK = aAC+bAH
c'est justement ce qu'on doit démontrer (qu'il existe des réels a et b etc, en donnant explicitement leur valeur)
décomposer la définition de K avec Chasles  
tout en vecteurs
KA + (KA+AC) + (KA+AH) = 0 etc

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 18:55

Pourquoi un repère ? Il n'est pas question de coordonnées dans l'énoncé.
2. Dans la relation de définition du point K, décompose les vecteurs KA et KC pour faire intervenir le point I.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 19:18

Bonjour à vous deux et merci de votre aide

Alors là je ne comprends pas pourquoi il faut prendre la def de k ...

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 19:22

pour pouvoir montrer quoi que ce soit pour un point K il faut bien utiliser la définition de ce point K
et l'énoncé définit ce point K comme le point tel que KA+KC+KH = 0  en vecteurs
et rien d'autre
toute démonstration sur le point K ne peut donc que partir de cette définition là ...
ou utiliser à un moment où un autre de la démonstration cette relation là.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 19:35

D'accord donc dès que l'on demandera une question avec K il faudra l'utiliser.

Mais dans l'équation KA + KC + KH = 0

KA + (KA+AC) + (KA+AH) =0
KA + (KA+AC) = AK+HA <--- On peut faire ceci pour après continuer et donc pouvoir trouver à la fin ---> AK = aAC+bAH

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 19:44

on peut manipuler ça autant qu'on veut comme on veut
mais le plus direct à mon avis est de commencer par regrouper tous les KA entre eux avant de "passer" des trucs de l'autre côté et de changer des signes pour tout planquer et aboutir à des impasses ou de tourner en rond...

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 19:50

D'accord

alors KA + (KA+AC) + (KA+AH) =0
3KA + AC +AH =0

Mais si je fais passer del'autre côté j'obtiens des vecteurs négatifs et donne un résultat étrange ...

Donc du coup ça fait --> 3KA = -AC -AH
Et là je peux faire passer le 3 --> KA =\frac{-AC -AH}{3}
Mais le résultat trouvé est bizarre non ?

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 20:28

il n'a rien de bizarre : tu veux AK, pas KA...

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 20:31

Ah oui c'est vrai

on avait --> KA =\frac{-AC -AH}{3}

AK = \frac{AC +AH}{3}

C'est ça ?

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 20:36

oui
et on a bien l'existence de deux réels a = b = 1/3 tels que AK = a AC + b AH,
donc K, A, C, H sont bien coplanaires.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 20:57

Pour la 2.

Il faut donc démontrer que K H I sont alignés.
Je pense qu'il faut démontrer que deux vecteurs son colinéaires et par exemple

HI = HA + AI
KI = KA + AI

Du coup ------> HA + AI = KA + AI
                                  HI = KI

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:03

2. Je t'avais donné une idée à 18h55 . . . .

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:09

Ah oui excuse moi Priam je m'en rappelais plus

Donc KA + KC + KH = 0

(KI +IA) +(KI + IC) + KH = 0

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:14

"du coup" ... affirmation gratuite sans preuve (as tu démontré au préalable que HA = KA ?
c'est la seule  justification qui te permettrait d'affirmer que HA+AI serait égal à KA + AI)
non ! et en plus c'est même faux...

tu sembles avoir des difficultés à comprendre ce que veut dire démontrer en général ...

on part de quelque chose de connu
de quelque chose qui est écrit dans l'énoncé par définition
pas de choses qu'on cherche à démontrer et que par conséquent on ne sait pas encore
ni de désirs qu'on prend pour des réalités

ici, la seule chose qui est connue est :
la définition  de K : KA + KC + KH = 0
et ce que tu as démontré question 1 : AK = 1/3 AC + 1/3 AH (mais ça ne sert à rien ici)

et donc à partir de KA + KC + KH = 0
tu fais ce qu'a dit Priam :
tu remplaces tout ça en décomposant avec Chasles "via le point I"

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:22

Oui oui c'est de ma faute je n'ai pas relue plus haut et j'ai mis une réponse à 21:09

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:27

oui j'ai vu après coup
là c'est bon et tu n'as plus qu'à continuer :
regrouper les KI
utiliser la définition vectorielle de "I milieu de AC"

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:39

Donc j'avais dis
(KI +IA) +(KI + IC) + KH = 0   -------------->  Pour là, définition vectorielle de I milieu de [AC]
Il faut que je remplace IA +IC par AC ?
2KI + IA + IC + KH = 0

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:42

non
IA + IC ne donne pas AC
AC c'est AI + IC, pas IA + IC

comment sont les vecteurs IA et IC si I est le milieu de AC ?
fais un dessin et dessines les, ces vecteurs ....

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:52

IA et IC sont "opposés" enfin ils sont  A<- - I et I- - >C

Je vais arrêter pour ce soir car j'ai cours demain matin. Je continuerai demain si vous  voulez reprendre avec moi. Bonne soirée.

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 12-02-18 à 21:54

oui, ils sont de sens opposés
et de même norme (de même longueur)
donc  IA + IC = ??

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 18:25

Bonjour Mathafou

Désolée mais là j'ai pas tout suivit avec IA et IC. Ces vecteurs sont la représenttion du milieu de [AC] mais après pour IA + IC = ?? là je ne vois pas quoi mettre

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 18:53

la somme de deux vecteurs exactement opposés (de même "longueur") est ??
tout de même !!

I milieu de AC équivaut à
\vec{AI} = 1/2\; \vec{AC}
ou encore
\vec{AI} = \vec{IC}
ou encore
\vec{IA} = -\vec{IC}
ou encore
\vec{IA} + \vec{IC} = \vec{??}   (totalement instantané de la relation précédente)

tout ça pour dire exactement la même chose.
que les vecteurs sont exactement opposés

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 19:03

La somme de deux vecteurs opposés est nulle ...

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 19:05

bein oui.
et donc dans
2KI + IA + IC + KH = 0
il ne reste plus que
2KI +  KH = 0

et donc que peut on dire des vecteurs KI et KH et donc  des points K, H , I ?
et c'est fini pour cette question là.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 19:12

Le vecteur 2 KI représente le vecteur KH et donc les points K, H et I sont alignés

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 19:32

"représente" ??

2KI = moins KH, ou KH = moins 2KI, comme tu veux
mais pas 2KI = KH  
donc les vecteurs sont colinéaires
(définition, il existe un réel a, ici a = -2, tel que \vec{u} = a\;\vec{v})
et, comme ils  (ces représentant, si tu y tiens) ont même origine K, donc les points sont alignés

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 20:03

Ah d'accord

La 3. j'ai repris KA + KC + KH = 0

et j'ai essayé :

KA + KC +KH = 0
(KD+DA) + (KC+CB) + KH = 0
Est ce q'il faut que je fasse apparaiter D et F puisque l'on parle du segment [DF]?

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 20:47

3. Si, dans la relation vectorielle  KA + KC + KH  = 0 , tu remplaces  KA + KC  par  2KI , tu peux constater que tous les points en cause (K, I, H, D, B et F) sont coplanaires; tu pourrais alors raisonner dans le plan DBF .

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 21:10

Excuse moi mais je ne comprends pas ce que tu demandes

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 21:10

Pourquoi remplacer KA + KC par 2KI ?

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 13-02-18 à 21:21

Je continuerai demain bonne soirée.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 14-02-18 à 19:12

Bonjour,

Donc si je remplace dans k-> KA +KC par 2KI
2KI + 2KI +KH = 0
4KI + KH = 0
4KI = -KH

Mais je ne vois pas en quoi cela permet de dire que k appartient à la droite [DF]

Merci

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 14-02-18 à 20:13

S'il vous plaît

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 14-02-18 à 20:30

Fais une figure séparée montrant, à plat, le rectangle DBFH et place les points I et K.
A l'aide de cette figure, tu devrais pouvoir montrer aisément que les points D, K et F sont alignés.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 14-02-18 à 20:47

Oui ils sont bien alignés mais il faut le prouver mais c'est là que je bloque car vous avez dit

" Si, dans la relation vectorielle  KA + KC + KH  = 0 , tu remplaces  KA + KC  par  2KI "

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 14-02-18 à 22:04

Cela donne  2KI + KH = 0 , ce qui montre que les trois points I, K et H sont alignés. Le point K appartient donc au plan du rectangle DBFH.
Ensuite, on montre que les trois points D, K et F sont également alignés en décomposant, selon Chasles, les vecteurs DK et KF.

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 14-02-18 à 23:52

Citation :
Cela donne  2KI + KH = 0
déja obtenu
sans utiliser le fait qui a mon avis n'est pas connu de coatch, que directement KA + KC  =  2KI
(vu la difficultés à arracher IA+IC =0...)

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 15-02-18 à 16:43

Bonjour

Voici un résultat que j'ai trouvé

KA + KC+ KH = 0
J'ai remplacer les 3 :

(KD + DA) + ( KD + DC) + ( KD + DH) = 0
3KD + DA + DC + DH = 0
Ici DA + DC + DK permet de voir le [DF] et permet de dire avec 3KD + DA + DC + DH = 0 que K appartient au segment .

Merci

Posté par
mathafou
re : Géométrie vectorielle 15-02-18 à 20:02

j'adore le "j'ai trouvé"
bon, on ne  va pas faire un procès d'intention

en tout cas :

3KD + DA + DC + DH = 0    oui, parfait

DA + DC + DH ? permet de voir le [DF]
ah ? je ne vois  aucun DF là dedans
que K appartient au segment .
à quel segment ? [DF] ? pourquoi ne pas dire explicitement "au segment [DF]" ça éviterait des ambiguïtés.

ou mieux : explicitement
DA+DC+DH = DA+AB+BF = DF  car AB = DC et BF = DH
au lieu de "voir" sans dire pourquoi.

donc
3KD + DF = 0
ou encore DK = 1/3 DF
ce qui prouve la colinéarité des vecteurs DK et DF, donc  l'alignement des points D, K, F
et permet en plus de répondre à la deuxième partie de cette question 3.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 13:16

D'accord on change de repère pour passer de :

DA + DC + DH à DA + AB + BF

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 13:43

Maintenant pour la 4.
Il faut montrer que les points K, D, I et J sont colinéaires ?

Je sais que I milieu de [AC]
Je sais aussi que J milieu de [DH]

Mais la il faut que je réutilise l'expression de K -> KA +KC + KH = 0 ?

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 14:20

Pas colinéaires, mais coplanaires !

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 14:22

Ah oui mince

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 14:37

il faut que je réutilise l'expression de K -> KA +KC + KH = 0 ?

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 15:16

Regarde sur la figure où se situent ces quatre points. Cela te donnera des idées.

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 15:59

Est ce que je peut utiliser le repère (D, DA, DC, DH) ?

Posté par
Priam
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 18:10

As-tu regardé la figure ? As-tu vu quel est le plan auquel les quatre points paraissent appartenir ?

Posté par
coatch
re : Géométrie vectorielle 17-02-18 à 18:15

Je sais pas j'hésite entre (HDB )et (ACH) ?

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