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Niveau Master
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Gln isomorphe Glm

Posté par
lemmouchia
04-02-15 à 00:53

Bonjour, il y a un point que je n'ai pas compris dans la démonstration du résultat suivant :

Gln(K) isomorphe à Glm(K) alors nécessairement n=m.

On comment par se donner un sous groupe G de Gln(K) et que pour tout A dans G, A²=Id.

et on veut montrer que Card G 2^n.

Pour cela on montre que A est diagonalisable avec pour vp 1 ou -1, jusque là tout est ok.

Ensuite on a donc que il existe P dans Gln(K) tel que pour tout A dans G P^{-1}AP est diagonale avec +-1 dans la diagonale et on conclut immédiatement que le cardinal de G est inférieur ou égal à 2^n

Mais j'ai un problème avec la conclusion :

Si je pose T={P^{-1}AP =Diag(+-1,...,+-1) alors on a card T = 2^n

Et si on considère l'application :

f: G T
   AP^{-1}AP c'est pas seulement une injection c'est une bijection non ??

Donc on a carrément card G = Card T= 2^n ?

Où est mon erreur ?

merci

Posté par
Wataru
re : Gln isomorphe Glm 04-02-15 à 08:37

Salut,

Le côté injectif est sans problème, mais le côté surjectif est moins évident.
Il faudrait montrer que si tu prends n'importe quelle matrice D diagonale de 1 et -1 tu pourras trouver une matrice A de G tel que P*G*(P^-1) = D. C'est pas forcément évident que ton application donne réellement tout les éléments de T.

Après c'est peut être vrai, mais c'est clairement pas trivial.
Et vu que le but du jeu était de démontrer l'inégalité ça serait pas forcément utile de le montrer, mais tu peux essayez de voir si f est bien surjective ou non si ça te fais plaisir.

Posté par
Wataru
re : Gln isomorphe Glm 04-02-15 à 08:38

(Ah oui, tu pourrais croire que la surjection est évidente car :
P*A*(P^-1) = D A = (P^-1)*D*P
Mais justement faudrait montrer que (P^-1)*D*P est toujours dans G, c'est pas direct.)

Posté par
Robot
re : Gln isomorphe Glm 04-02-15 à 08:54

Prends par exemple le sous-groupe de T réduit à l'identité : il vérife bien l'hypothèse que tout élément est de carré l'identité ! Il a 1 élément.
Ou alors, le sous-groupe formé de l'identité et de moins l'identité : deux éléments.
Ou encore le sous-groupe de T formé des matrices dont le déterminant est égal à 1 (ce qui revient à dire qu'il y a un nombre pair de -1 sur la diagonale). Celui-ci a 2^{n-1} éléments.
Ton groupe T (qui est isomorphe à (\Z/2\Z)^n a donc plein de sous-groupes. Pourquoi donc voudrais-tu que l'image de G soit forcément égale à T ?

Posté par
lemmouchia
re : Gln isomorphe Glm 05-02-15 à 16:46

merci pour vos réponses, effectivement j'ai pensé que c'était bijectif à cause du deuxième poste de Wataru, mais j'avais pas pensé à vérifier que cela devait appartenir à G

Merci



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