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Gln (R) ouvert de Mn(K)
Bonjour,
Gln(R) = det(-1){]-inf,0[}Udet(-1){]0,+inf[} donc c'est un ouvert comme union d'image réciproques d'ouverts par une application continue sur Mn(R).
C'est correct?
Merci.
Juste une question de rigueur : Ce que tu as écrit, tout comme ce que j'ai écrit, n'est pas totalement juste. Lorsque l'on parle d'ouverts ou de fermés, l'on se réfère toujours à un ensemble muni d'une topologie. Ainsi est-il ouvert, mais pour quelle topologie définie sur quel ensemble ? Pour
, il n'y a pas de difficulté majeure.
A +
ok donc je rajouterai:
Gln(R) = det(-1){]-inf,0[}Udet(-1){]0,+inf[} donc c'est un ouvert comme union d'image réciproques d'ouverts de R par une application continue sur Mn(R).
Donc là c'est correct?
Merci.
Bonjour,
Le programme de maths spé ne considère qu'une seule topologie sur Mn(R), celle qui découle de sa structure d'espace vectoriel normé.
Cet espace étant de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et définissent donc la même topologie sur Mn(R).
A ce niveau, il est donc inutile d'insister sur le choix de la topologie.
@Frenicle : C'est très gentil d'être intervenu, mais je pense que tu as mal compris mes intentions. En effet, tu dis :
Le programme de maths spé ne considère qu'une seule topologie sur
N'était-ce pas à Vladi de le préciser ?
Cet espace étant de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et définissent donc la même topologie sur
Je pense qu'il est inutile de me le rappeler. Je le sais, tu t'en doutes ! D'ailleurs, la démonstration de ce résultat est assez rudimentaire. Cependant, même dans ce cas, cela ne dispensait pas Vladi de préciser la norme sur
A +
N'était-ce pas à Vladi de le préciser ?
Il l'a fait en postant son message dans la catégorie Maths spé.
cela ne dispensait pas Vladi de préciser la norme
Mais tu insistais pour qu'il précise la topologie, pas la norme.
La notion d'espace topologique n'est pas en tant que telle au programme de maths spé, qui indique :
"L'équivalence des normes montre que de nombreux concepts importants sont indépendants du choix d'une norme : parties bornées, applications bornées, applications lipschitziennes ; parties ouvertes, parties fermées, adhérence, intérieur, limite et continuité d'une application, continuité uniforme ; suites convergentes, parties compactes ; suites de Cauchy, parties complètes.
Par conséquent, pour toutes ces notions, il est légitime de se placer dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie (sans préciser une norme particulière)."
Je pense qu'il est inutile de me le rappeler. Je le sais, tu t'en doutes !
Oui, je m'en doute, mais cette précision était destinée à Vladi.
Mon intervention concernait l'adéquation entre le niveau auquel tu as placé ta réponse et le programme de maths spé que suit Vladi.
Elle n'était pas destinée à mettre tes compétences en doute.
@Frenicle :
La notion d'espace topologique n'est pas en tant que telle au programme de maths spé, qui indique :
"L'équivalence des normes montre que de nombreux concepts importants sont indépendants du choix d'une norme : parties bornées, applications bornées, applications lipschitziennes ; parties ouvertes, parties fermées, adhérence, intérieur, limite et continuité d'une application, continuité uniforme ; suites convergentes, parties compactes ; suites de Cauchy, parties complètes. Par conséquent, pour toutes ces notions, il est légitime de se placer dans le cadre des espaces vectoriels de dimension finie (sans préciser une norme particulière)."
C'est un véritable désastre !
Et encore, je mesure mes mots !
A +
Salut!
Perso je trouve aps que ce soit un desastr, au contraire c'est tres courrant.
Quand on parle de Mn(R) sans rien rpeciser c'est toujours pour la topologie des normes.
De plus a un niveau plus eleve il n'existe qu'une seule topologie séparée sur Mn(R) (ou C ou de tout corps valué complet non discret) qui en fasse un espace vectoriel topologique, donc preciser la topologie sur Mn(R), c'est tres courrement implicite. De meme quand on parle de R, on le mnit de sa topologie naturelle.
Enfin ca n'est que mon avis.
Préciser la topologie d'un ev c'est juste préciser sa norme?
Dans ce cas je rajouterai:
Gln(R) = det(-1){]-inf,0[}Udet(-1){]0,+inf[} donc c'est un ouvert de Mn(R) (muni d'une norme quelconque, car elles sont toutes équivalentes en dim finie) comme union d'image réciproques d'ouverts par une application continue sur Mn(R).
Merci.
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