Bonjour Djeffrey;
Peux tu poster tes réponses aux questions 1) et 2)?

Salut Djeffrey, salut elhor,

Tant que tu y es, Djeffrey, tu peux nous dire si tu as vu les projecteurs?
Je verrais bien une petite intervention du projecteur sur Im(g) dans la question 3...

A+
biondo

Bonjour...

Bah j'ai simplement reussi a demontrer les deux premieres assertions donc les resultats sont ecrits... J'ai simplement demontré les doubles inclusions a chaque fois, ainsi que l'intersection reduite a 0 pour la somme directe...

Biondo, effectivement je connais les projecteurs, que penses tu utiliser a ce propos?

Question 3)

Eh bien je me disais que si j'appelle p le projecteur sur Im(g), alors l'ensemble forme par  l'endomorphisme p et les endomorphismes g^n, avec n superieur ou egal a 1 (g^n au sens de la composition), est un groupe.

En effet on peut montrer (a toi...) que p o g = g o p = g, la meme chose avec les g^n et avec p. p est en fait l'element neutre.
Le reste des axiomes de definition d'un groupe est trivial.

A+
biondo

est ce qu'il n'y a pas un probleme ai niveau du symetrique pour la composition ?
Pour p je suis d'accord que c'est p le symetrique, mais pour g il faut l'application reciproque donc il faut que g soit un automorphisme non?

Attention: il faut un inverse, au sens de la loi du groupe.
Ce n'est pas exactement la meme chose que d'admettre une application reciproque...

Ici il faut montrer l'existence d'une application h appartenant au groupe telle h o g = g o h = p.

Au hasard: si (e1,...er) est une base de Im(g), alors (g(e1),...,g(er)) aussi. On complete la derniere base avec des e'i.  En notant h l'application qui a g(ei) associe ei (ce qu'on peut bien faire car on a deux bases de Img), et qui a e'i associe le vecteur nul, on definit une application lineaire (a verifier), qui est un genre de reciproque partielle de g (pas tres mathematique ce que je viens de dire, a eviter, c'est pour comprendre).

On verifie alors que h o g = g o h = p, que p o h = h o p = h.

Et donc j'avais ete un peu vite, il faut considerer le groupe engendre par (p, g, h) pour que ca marche.


Enfin je crois.

A+
biondo

oups... désolé pour mon message précédent.

Je voulais te doonner un exemple de groupe d'endomorphismes où le neutre n'est pas l'identité.

C'est l'ensemble des endomorphismes de associés aux matrices de la forme , où

pour la 5 j'ai jusre reussi a dire que la difference des neutres est incluse dans chacun des noyaux de ces neutres mais ce ne me donne pas la reponse...