Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Graam-Schmidt et Hilbert

Posté par
robby3 24-06-08 à 11:56

Bonjour tout le monde,
d'habitude je demande de l'aide, mais là j'ai besoin d'une correction s'il vous plait...

voilà le probleme:

Citation :
Si f^. est un élément de L_C^2([-1,1]\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}) et que f soit un représentant de f^., la formule de changement dans les integrales assure que:

\Bigint_{-1}^1 |f(t)|^2\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\Bigint_0^{\pi} |f-cos(\theta)|^2.\frac{sin(\theta)}{\sqrt{1-cos^2(\theta)}} d\theta=\Bigint_0^{\pi} |f(cos(\theta))|^2 d\theta<+\infty
or les monomes trigonométriques réels pairs
\theta \longrightarrow cos(n\theta),n\in N
engendrent un K-sous-espace dense dans le K-sous-espace de L_K^2(T) constitué des classes de fonctions 2\pi-periodiques paires à valeurs dans K
On en déduit que les classes des polynomes de Tchebychev O_n(cos(\theta))=cos(n\theta),n\in N
engendrent un K sous espace dense de L_K^2([-1,1],\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}) et par conséquent compte tenu de leur orthogonalité deux à deux forment une base hilbertienne de ce K espace de hilbert.
Ce systeme peut se reconstruire via Graam-Schmidt à partir du systeme libre consituté des classes de monomes t^n,n=0,1...


ma question:

>pouvez me montrer s'il vous plait la derniere phrase:
\rm \fbox{Ce systeme peut se reconstruire via Graam-Schmidt \\ a partir du systeme libre consitute des classes de monomes t^n,n=0,1...}

je vous en remercie par avance.

Posté par
lafol Moderateurre : Graam-Schmidt et Hilbert 24-06-08 à 12:33

Bonjour
c'est le même principe que pour faire une BON à partir d'une base quelconque en dim finie : on garde le premier vecteur, on enlève le bon multiple de ce premier au deuxième pour récupérer un deuxième orthogonal au premier (en fait, on enlève au deuxième son projeté sur la droite engendrée par le premier), puis on enlève au troisième son projeté sur le plan engendré par les deux premiers pour obtenir un vecteur orthogonal à chacun des deux premiers etc.
il ne reste qu'à diviser chacun par sa norme. (il existe une variante où on norme à chaque étape)

ici, le produit scalaire est défini via une intégrale

Posté par
robby3re : Graam-Schmidt et Hilbert 24-06-08 à 12:40

Bonjour lafol,

je vais essayer mais au brouillon,je m'embrouille alors...

on commence à n=0: \\ t^0=1

le produit scalaire étant défini par <f,g>=\Bigint_{-1}^1 f(t)g(t)\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}

quel est l'étape suivante??

je fais le produit scalaire de 1 par t ??

Posté par
lafol Moderateurre : Graam-Schmidt et Hilbert 24-06-08 à 12:45

oui
on va dire que la base de départ est notée avec des f et celle orthogonale avec des g

tu cherches g_1 tel que <g_1,g_0> = 0, en ayant g_0 = f_0 et g_1 = f_1 - ag_0
<g_1,g_0> = 0 devient <f_1,g_0>=a<g_0,g_0>

donc g_1=f_1-\fr{<f_1,g_0>}{<g_0,g_0>}g_0

Posté par
robby3re : Graam-Schmidt et Hilbert 24-06-08 à 13:22

euhh...
je fais <1,t>=\Bigint_{-1}^1 \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt=\Bigint_0^{\pi} cos(\theta) d\theta=0
,donc là je montre que c'est orthogonale,il faut normer...c'est bien ça?

Posté par
lafol Moderateurre : Graam-Schmidt et Hilbert 24-06-08 à 16:34

Pas besoin de changer de variable : tu intègres une fonction impaire sur un intervalle symétrique par rapport à 0
donc oui, 1 et t sont déjà orthogonaux

donc oui, il n'y a plus qu'à normer

Posté par
robby3re : Graam-Schmidt et Hilbert 27-06-08 à 11:26

Citation :
donc oui, il n'y a plus qu'à normer

>je norme en calculant quoi?
en calculant <1,1> ??

Posté par
lafol Moderateurre : Graam-Schmidt et Hilbert 27-06-08 à 13:40

tu divises chaque vecteur par sa norme pour obtenir des vecteurs normés

Posté par
robby3re : Graam-Schmidt et Hilbert 27-06-08 à 16:02

donc je calcule
\sqrt{<1,1>}=\sqrt{\pi} sauf erreur.
donc j'avais mon premier vecteur
g_0=1
ensuite mon deuxieme est:
g_1=??

Posté par
lafol Moderateurre : Graam-Schmidt et Hilbert 27-06-08 à 16:08

Ton premier était 1 que tu dois diviser par sa norme, ton deuxième reste t (othogonal à 1) que tu dois aussi diviser par sa norme. Mais je ne crois pas que les polynômes de Chebyshev soient orthonormés, seulement orthogonaux

Posté par
robby3re : Graam-Schmidt et Hilbert 27-06-08 à 16:18

mais s'ils forment une base de L_C([-1,1]\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}) c'est qu'ils sont orthonormés aussi non?

donc g_0=\frac{1}{\sqrt{\pi}}
j'ai
g_1=\frac{t}{\sqrt{\pi/2}}

Posté par
lafol Moderateurre : Graam-Schmidt et Hilbert 27-06-08 à 16:23

Posté par
robby3re : Graam-Schmidt et Hilbert 27-06-08 à 16:27

ok d'accord, les calculs sont bons...
je crois que j'ai saisi.
Merci


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !