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Niveau Reprise d'études
Gradient et différentielle
Posté par Jepoti213
Bonjour, voici ma question
Soit f une fonction de R^2 dans R^2 telle que f(x,y) = (x^2 - y^2 - 2xy , y)
Je dois calculer la matrice jacobienne en tout point où l'application est différentiable et écrire la différentielle.
Je sais que f est polynomiale donc C_infinie donc différentiable.
J'ai trouvé la matrice Jacobienne mais j'ai un doute pour la différentielle :
Si je pose f_1(x,y) = x^2 - y^2 - 2xy et f_2(x,y) = y
J'ai :
d/dx [ f_1(x,y) ] = 2(x-y)
d/dy [ f_1(x,y) ] = -2(x+y)
d/dx [ f_2(x,y) ] = 0
d/dy [ f_2(x,y) ] = 1
D'où : Jac_f(x,y) = ( 2(x-y) -2(x+y))
( 0 1 )
Mais j'ai une petite difficulté pour la différentielle :
df(x,y)(h k) = grad(f(x,y)) (h k)^t
Pour le gradient, je dois prendre la dérivé selon x de f_1 et la dérivé selon y de f_2 ?
Merci
Bonsoir,
Le gradient, c'est pour une fonction à valeurs dans . Ta fonction
n'est pas à valeurs dans
. Revois dans ton cours la définition de la différentielle (en un point de
dans
Le gradient est en fait la 1ère ligne de la matrice jacobienne donc :
grad (f(x,y)) = ( 2(x+y) )
( -2(x+y) )
Donc df(x,y)(h k) = 2h(x+y) - 2k(x+y)
C'est bien cela ?
Quelle est la matrice de df(x,y) dans les bases canoniques ?
Je l'appelle A. On a df(x,y)(U) = A.U pour tout vecteur U de R^2. C'est bien à valeurs vectorielles, contrairement au résultat d'un produit scalaire 
Non.
Ici tu travailles avec une fonction de dans
. Sa différentielle en
est une application linéaire de
dans
(appelée aussi application linéaire tangente à
en
).
La matrice jacobienne est la matrice de cette application linéaire (dans la base canonique de , bien sûr).
GBZM @ 28-04-2021 à 14:37
Non.
Ici tu travailles avec une fonction de
dans . Sa différentielle en \in \R^2)
est une application linéaire de dans (appelée aussi application linéaire tangente à 
en )
).
La matrice jacobienne est la matrice de cette application linéaire (dans la base canonique de, bien sûr).
Non.
Ici tu travailles avec une fonction de
La matrice jacobienne est la matrice de cette application linéaire (dans la base canonique de
M'enfin ?
Ne sais-tu pas écrire une application linéaire dont tu connais la matrice ? Un produit matrice-vecteur colonne, tu dois savoir faire, n'est-ce pas ?
Mais pourquoi tu reviens sans cesse au gradient ?
Il n'est pas question de gradient ici. Il est question de différentielle d'une application de dans
.
Cette différentielle au point est une application linéaire de
dans
, dont tu connais la matrice.
Le blocage que tu fais sur cette question me dépasse.
Prenons par exemple défini par
. On a
L'application linéaire tangente à en
, ou difféntielle de
en
est l'application linéaire de
dans
dont la matrice est la matrice jacobienne .
Pas de gradient ici. Ça n'a pas de sens pour une fonction de dans
. Essaie de te sortir de cette fixation sur le gradient.
En fait dans ma tête je me disais que df(x,y) = < gradf(x,y) , (h,k)> c'est pour ca que je cherchais toujours à prendre le gradient lol ^^ .
Avec votre exemple, j'ai compris. Donc je reviens a mon exemple :
f(x+h, y+k) = ( (x+h)^2 -(y+k)^2 - 2(x+h)(y+k) , y+k))
f(x+h, y+k) = (x^2 + 2xh + h^2 - y^2 - 2yk - k^2 - 2xy - 2xk -2yh -hk , y+k)
f(x+h, y+k) = (x^2 - y^2 - 2xy, y) + (2xh - 2yk - 2xk -2yh,0) + (h^2 - k^2 -hk, k)
f(x+h, y+k) = f(x,y) + ( 2x(h-k) -2y(k+h), 0) + (h^2 - k^2 -hk, k)
Donc df(x,y)(h k) = ( 2x(h-k) -2y(k+h), 0)?
En fait dans ma tête je me disais que df(x,y) = < gradf(x,y) , (h,k)> c'est pour ca que je cherchais toujours à prendre le gradient lol ^^ .
Avec votre exemple, j'ai compris. Donc je reviens a mon exemple :
Donc df(x,y)(h k) = ( 2x(h-k) -2y(k+h), 0)?
Non.
Encore une fois, tu as calculé correctement la matrice jacobienne.
Pourquoi ne fais-tu pas le lien avec la différentielle ? Je n'arrête pas de te le répéter, sans aucun effet. C'est un peu décourageant.
Après, tu pourras voir quelle erreur tu as faite dans l'agencement de ton calcul.
Quelle est l'application linéaire dont la matrice est la matrice jacobienne que tu as calculé dès le premier message de ce fil ?
Je n'arrête pas de te répéter que cette application linéaire est la différentielle de f en (x,y).
Bien sûr, mais pourquoi ne l'avais-tu pas effectué quand je te l'ai demandé, ce produit ?
Maintenant que je l'ai écrit, compare au résultat que tu avais à la fin de ce message : 
Gradient et différentielle, et essaie de comprendre ton erreur.
Pour la même raison que la différentielle d'une fonction à valeurs dans est "le gradient scalaire (h k)".
Pour une fonction à valeurs dans
, la première ligne de la matrice jacobienne est le gradient de la première composante
et la deuxième ligne le gradient de la deuxième composante
.
Bon, maintenant je suis allé au bout de mes conseils, je sors !