oups !! c'est moche en plus je ne peux plus éditer

Bonsoir,

peux-tu donner la définition de Gâteaux-différentiable?

ok j'ecrit l'énoncé jamo (mais je ne comprend toujours pas pourquoi !!)

ENONCE:
          Soit E = R², et J : E → R une fonction Gateaux-différentiable
a) Montrer que si J est convexe, alors J est monotone, c'est-a-dire
                                                              a
                   ∀(x, y) ∈ E², <grad(J(x))−grad(J(y)), x − y > >=0

b) Réciproquement, montrer que si grad(J) est monotone, alors J est convexe.

Indication:  Etudier les variations de la fonction
                    φ(t) = (1 − t)J(x) + tJ(y) − J((1 − t)x + ty).

c) Montrer que J est strictement convexe si et seulement si grad(J) est strictement monotone.

merci Tigweg :    J : E → R  est Gateaux-différentiable en x  s'il existe z ∈ E , tel que :

                 ∀y ∈ E : [J(x+ty)-J(x)]/t tend vesr <z,y> lorsque t tend vers 0.

un tel z est alors noté grad(J(x)).

c'est encore moi , j'ai trouvé pour la b) il faut utiliser le theoreme de Rolle et puis on trouve que  φ(t)>= sur [0,1]. mais par contre j'arrive pas à faire le c) dans ce sens :"J est strictement convexe ==> grad(J) est strictement monotone"
merci pour votre aide

Bonjour,

pour la 1), si on fixe x et y on a par définition:

= lim [J(x+ty)-J(x)]/t pour t tendant vers 0 etc...

On fait pareil pour les 3 autres termes obtenus en échangeant les rôles de x et y, en prenant deux fois x, puis deux fois y, et il vient par bilinéarité et après simplification:



et après il faut faire jouer l'hypothèse de convexité, mais je ne tombe pas sur ce qu'il faut.

L'idée serait de distinguer t > 0 et t<0 , et dans le premier cas, de minorer la somme des deux premiers termes en les voyant comme le barycentre des images de x et de y à un coefficient multiplicatif (2+2t) près, puis de majorer chacun des termes J(x+ty) et J(y+tx) en les voyant chacun comme l'image d'un barycentre de x et de x+y.

Au final, on obtiendrait bien une minoration pour t>0.

Mais comme je ne parviens pas à tomber dessus directement, je te laisse déjà regarder cela.

Une idée pour le :

en utilisant que on a aussi

et comme est supposée convexe on a

on en déduit alors que

et en inversant le rôle de et que

et la somme des inégalités bleues donne le résultat souhaité _{sauf erreur bien entendu}

Salut elhor_abdelali !


C'est brillant!!


_{Où te sers-tu de ta toute première relation?}

Salut Tigweg

On peut en effet commencer directement par la seconde _{je ne sais pas pourquoi je ne l'ai pas fait}

D'accord!

En tout cas, l'exercice n'était pas évident! Mais je n'ai jamais bien manié la convexité...

merci bcp :
moi j'ai fait ça :
a)
  en cours on a vu que si J est convexe et Gateaux diff alors : pour tout x,y : J(x)>=J(y)+<gard(J(y)),x-y> et comme x et y jouent un role symétrique je trouve le resultat.

b)  φ(t) = (1 − t)J(x) + tJ(y) − J((1 − t)x + ty).
  pour tout t1,t2 dans [0,1] φ'(t1)-φ'(t2))(t1-t2)<=0
donc φ' est décroissante sur [0,1] , φ(1)=φ(0)=0 , Rolle ==> existence d'un a dans ]0,1[ tel que φ'(a)=0. d'ou φ>=0

par contre pour la 3) j'ai du mal car si j'applique la proposition que j'ai utilisé pour la question a) , avec J strictement convexe me donne encore que : J(x)>=J(y)+<gard(J(y)),x-y>  et non pas une inégalité stricte
si quelqu'un a une idée !!

bonsoir : personne n'a une idée sur J est strictement convexe ==> grad(J) est strictement monotone ??

bonjour
j'ai toujours la meme question :J est strictement convexe ==> grad(J) est strictement monotone ?
est ce que si J est strictement convexe φ est strictement concave car si c'est le cas je peux dire que  φ' est strictement décroissante et le tours est joué .
j'essaye de démonter cela mais sans succé , j'essaye  en appliquant la définition de  de convexité à φ ,mais je bloque dans les calculs .
merci de votre aide

Pour étudier les variations de nous allons montrer que est dérivable et exprimer sa dérivée :

pour et réel non nul et assez petit pour que un simple calcul donne



et donc

et par suite pour tout on a

et en utilisant la on a c'est à dire que est décroissante sur

et comme on a par application du théorème de Rolle on a l'existence de tel que

est donc positive sur et négative sur

ce qui veut dire que est croissante sur et par suite pour tout ,
et décroissante sur et par suite pour tout ,
est alors positive sur d'où la convexité de



remarque: j'ai tout simplement rédigé ton idée terom21 et je réfléchis pour la

supposons strictement convexe et soit tel que il s'agit de montrer que

sinon comme est convexe on aurait c'est à dire

et comme est décroissante d'après elle serait constante et serait affine et donc nulle vu que

ce qui contredit clairemant l'hypothèse de la stricte convexité de _{sauf erreur bien entendu}

inversement il est facile de voir que si est strictement monotone alors pour tout tel que
est strictement décroissante et donc car si s'annulait sur Rolle annulerait deux fois
ce qui contredit sa stricte décroissance d'où la stricte convexité de _{sauf erreur bien entendu}