Niveau école ingénieur

Grand O

Posté par
Maesan 07-12-22 à 10:50

Bonjour à tous et merci de me lire

S'il vous plaît si j'ai a=1/n + O(1/n³)

Si je désire écrire sin(a)=a + O(a³)
(Vu que a tend vers 0 quand n tend ver + l'infini)
S'il vous plaît qu'est ce qui me permet de dire que O(a³)=O(1/n³)
En fait je voudrais demander quelle propriété du grand O permet d'écrire ça svp. Parceque je vois ce genre de relations dans des documents je comprends pas vraiment

Merci beaucoup

Posté par re : Grand O 07-12-22 à 11:50

salut

rien !!

car il n'y a aucune relation entre a et n (sauf à nous donner l'énoncé exact)

soit tu utilises la lettre a soit tu utilises la lettre n !!!

de toute façon il me semble que si O(a^3) = O(1/n^3) alors tout simplement O(a) = O(1/n) ... mais bon ...

Posté par re : Grand O 07-12-22 à 11:51

Bonjour,

Pour t'en convaincre développe

$a^3 = (\frac{1}{n} +O(\frac{1}{n^3}))^3$

Posté par re : Grand O 07-12-22 à 14:22

Il faudrait plutôt écrire $a_n = 1/n + O(1/n^3)$ , avec un n en indice.

Le mieux est à mon avis de poser $f$ la fonction $x\mapsto x + Cx^3 - \sin(x)$ avec C une constante > 0.
Elle est C-infini, et pour tout x, $f'(x) = 1 + 3Cx^2 - \cos(x) = 2\sin^2(x/2) + 3Cx^2 \geqslant 0$ .
Donc f est croissante. Et comme $f(0) = 0$ , on en déduit que pour tout x positif ou nul, $\sin(x) - x \leqslant Cx^3$ .

C'est bien plus fort que ce que tu demandes.

Il suffit d'appliquer pour tout n avec $x_n = a_n = 1/n + b_n$ , où b est n'importe quelle suite $O(1/n^3)$

Posté par re : Grand O 07-12-22 à 22:46

Posons:

$a_n = \frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^3})$

Un DL de la fonction sinus au voisinage de 0 nous donne:

$\sin(u) = u + O(u^3)$

Par composition:

$\sin(a_n)=a_n +O(a_n^3)=\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^3}) + O(a_n^3)$

Or

$a_n^3=\Big(\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^3})\Big)^3 =\frac{1}{n^3}+\frac{3}{n^2}O(\frac{1}{n^3})+\frac{3}{n} \big(O(\frac{1}{n^3})\big)^2+\big(O(\frac{1}{n^3})\big)^3 = \frac{1}{n^3}+3 O(\frac{1}{n^3})+3O(\frac{1}{n^3})+O(\frac{1}{n^3})=O(\frac{1}{n^3}) \\$

Finalement

$\sin(a_n)=\frac{1}{n} + O(\frac{1}{n^3}) \\$

Posté par re : Grand O 09-12-22 à 11:10

D'accord merci beaucoup

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