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Grand oral sur trilatération GPS besoin de conseils
Bonjour à tous,
Je suis élève de spécialité maths en terminale et j'aimerais faire mon grand oral sur les GPS, plus précisément le principe de trilatération des GPS en faisant le lien avec les équations paramétriques de droites (qui sont au programme de spé maths terminale). Le problème, c'est que cela fait intervenir les équations de cercles et ou de sphères qui sont apparemment au programme de première spé maths, mais qui dans mon cas à été zappé. De plus, ma prof actuelle m'a dit de faire de faire mon sujet sur la trilatération en 3D (et pas en 2D comme les modèles simplifiés que l'on peut trouver dans des vidéos explicatives sur internet). Or, je pense avoir plutôt bien compris le principe mais je peine à comprendre et trouver comment on peut passer d'équations de sphères à des équations/systèmes d'équations paramétriques de droites, d'où mon post.
Si cela peut vous aider, voilà un aperçu du contexte (avec des données en km un peu bidon, je m'excuse pour ça) :
J'ai compris que les satellites envoient des ondes à la vitesse de la lumière (environ 300000km/s) aux récepteurs (GPS de voitures, smartphones,...) et l'heure où ils ont envoyés ces ondes.
Le récepteur sait quand il les reçoit. A partir de là, on peut calculer la distance entre chaque satellites et le récepteur (grâce à la formule : distance = vitesse*temps).
Comme le but est de trouver les coordonnées en 3D du récepteur, on ne les connaît pas et le récepteur peut se trouver n'importe où autour des satellites mais à la distance indiquée.
Admettons que le premier satellite est à 20200km du récepteur, que le deuxième est à 20400, le troisième à 20500 et le quatrième à 20600 (pour dire des chiffres).
Schématiquement, on aurait le satellite 1 qui serait le centre d'une sphère de rayon 20200km, le satellite 2 qui serait le centre d'une sphère de rayon 20400km, le satellite 3 entouré d'une sphère de rayon 20500km, et le satellite 4 entouré d'une sphère de rayon 20600km.
Le récepteur est au point d'intersection de ces 4 sphères (puisque s'il n'y avait qu'un seul satellite, il serait n'importe où sur la surface de la sphère ; s'il n'y avait que 2 satellites, il pourrait être n'importe où sur le cercle formé par l'intersection à la surface des deux sphères ; s'il n'y avait que 3 satellites, il pourrait être à deux points différents. Il en faut donc minimum 4).
Je sais qu'une sphère de centre S=[x0,y0,z0] et de rayon R a pour équation cartésienne : (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2. Mais je ne sais pas et n'arrive pas à trouver comment on passe d'une équation de sphère à une équation paramétrique de droite. D'après ce que j'ai réussi à comprendre, ce serait une histoire de soustraction entre deux équations de sphère pour simplifier les carrés, mais je ne vois pas bien le principe.
Pouvez-vous m'expliquer, s'il vous plaît ?
Bonjour,
Juste une remarque (je ne réponds précisément pas à la question) : il n'y a pas "besoin" de 4 satellites : l'un des points est sur Terre (on peut considérer que c'est la quatrième sphère), pas l'autre. Le quatrième satellite permet par contre d'améliorer la précision.
Il me semble que le 4ème satellite permet de s'affranchir du décalage entre l'heure du récepteur et l'heure des satellites. Il y a 4 inconnues (x,y,z,t) . https://fr.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System#R%C3%A9solution_de_l'%C3%A9quation_de_navigation
C'est compliqué pour un Grand Oral, non?
On peut se limiter à la partie géométrique (intersection des trois sphères), à voir si cela peut conduire à un grand oral.
Oui, vous avez raison :
les équations de sphères ne sont pas au programme, par contre le modèle simplifié (les équations de cercles) sont au programme de première spé maths. Après, si je simplifie mon raisonnement en utilisant des cercles au lieu de sphères, j'ai l'impression que je ne peut plus faire mon résonnement avec les plans après (puisque ce serait uniquement en 2D.
J'ai fini par trouver qu'en soustrayant deux équations de sphères, on obtenait une équation de plan. L'intersection de 2 plans = une droite et du coup si on a 2 droites qui sont sécantes, ça fait un point = le récepteur.
Cependant, je ne sais pas s'il faut que je reste sur mon raisonnement en 3D pour pouvoir calculer avec mes plans et tout (et dans ce cas, admettre les équations de sphères), ou alors, partir sur un raisonnement simplifié en 2D au risque de ne pas avoir assez de choses ou de ne pas pouvoir parler d'équations de plans et de droites (alors que c'est quand-même l'objectif).
Personnelement, je partirais plutôt sur la prmière option, mais qu'es-ce que vous me conseillez de faire ?
Bonjour,
Mon petit grain de sel :
Fondamentalement, hormis la mesure du temps (cruciale !) par des horloges ultra précises, la technique GPS se limite à l'intersection de sphères et Delph90 a parfaitement résumé la situation ici :
Le récepteur est au point d'intersection de ces 4 sphères (puisque s'il n'y avait qu'un seul satellite, il serait n'importe où sur la surface de la sphère ; s'il n'y avait que 2 satellites, il pourrait être n'importe où sur le cercle formé par l'intersection à la surface des deux sphères ; s'il n'y avait que 3 satellites, il pourrait être à deux points différents. Il en faut donc minimum 4).
Il faut expliquer pourquoi, en général, il y a deux points solutions avec 3 satellites.
Évoquer une modélisation de notre planète comme une sphère (ou même comme un ellipsoïde) est totalement hors sujet quand on parle de Global Positioning System.
D'après ce que j'ai réussi à comprendre, ce serait une histoire de soustraction entre deux équations de sphère pour simplifier les carrés, mais je ne vois pas bien le principe.
Bonjour,
Le principe :
Les équations de deux sphères :
(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R02
(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2 = R12
Vous développez :
x2-2x0.x+x02 +... +... = R02
x2-2x1.x+x12 +... +... = R12
Vous soustrayez la seconde équation de la première, les termes x2, y2, z2 disparaissent, il reste une équation de la forme :
a12x+b12y+c12z = k12
C'est l'équation d'un plan P12.
Faites la même chose avec les sphères 1 et 3, vous obtenez un deuxième plan P13, l'intersection des 2 plans P12 et P13 est une droite D1 dans l'espace.
Faites la même chose avec les sphères 1 et 4, vous obtenez un troisième plan P14, l'intersection des plans P12 et P14 est une autre droite D2 dans l'espace.
Mais les droites D1 et D2 appartiennent toutes les deux au plan P12, elles sont donc coplanaires, elles se coupent en un point unique.
C'est l'idée de principe, il faut affiner tout ça, par exemple en montrant qu'on arrive au même point si on fait intervenir les sphères dans un ordre différent, et en montrant que les plans ne sont pas parallèles, et que les droites ne sont pas parallèles
Delph90
Bonjour, je travaille actuellement sur le même sujet de grand oral ! Avez-vous donc décidé de vous en tenir aux équations de cercles ou avez-vous quand même parlé des équations de sphères ?
Et si vous avez parlé des deux, sur quelle démonstration vous êtes vous concentrée dessus principalement ?
Merci et bonne journée !
Bonjour, je garde les équations de sphères car cela est plus réaliste.
Pour la démonstration, il s'agit de dire qu'au moins 3 satellites sont nécessaires pour avoir 2 points que l'on départage en supprimant celui qui n'est pas sur la Terre (voir image).
Par contre, je ne sais pas s'il faut que je dise seulement de quelle forme sont les équations (de sphères, de cercles, de plan, de droites, etc) puis de dire juste le raisonnement,
Ou alors s'il faut aussi que je mette des valeurs chiffrées. (Parce qu'au départ, j'avais fait avec des valeurs chiffrées, mais cela me paraissait long et difficile à retenir).
Donc j'ai fini par dire le raisonnement avec la firme des équations, puis je dis certains résultats pour ne pas faire trop long. Pensez-vous que çe soit une bonne idée.
D'accord, merci beaucoup pour votre aide !
Je me posais la même question par rapport aux valeurs chiffrées.
Ma sœur m'a dit que ce n'était pas forcément nécessaire mais que le but est de rendre accessible la présentation à tous et les données chiffrées peuvent aider à la compréhension du jury non spécialiste de la matière.
Donc je pense que votre idée est un bon compromis!
Bonjour
une remarque : dire que les équations de sphères ne sont pas au programme, je veux bien...mais si un prof de maths est présent, il peut demander à un terminale spé maths comment on les trouve...
définition d'une sphère : OM=R en dimension 3, on sait ça depuis le collège...
et les calculs de distances en dimension 3 sont au programme de terminale spe maths
Bon courage
Bonjour,
Des remarques sur le dessin de 9h45 :
- Les deux points d'intersections des 3 sphères sont mal placés (pour s'en convaincre, on peut remarquer que le point "supérieur" est à l'extérieur de la sphère du bas).
-Il n'y a aucune raison pour que les sphères aient même rayon.
-Pour lever l'indétermination sur les deux points, il suffit d'un quatrième satellite (la terre plus ou moins bien modélisée n'a rien à faire ici).
Une figure plus réaliste où les sphères se coupent deux à deux suivant 3 cercles. Ces cercles ont en commun les deux points rouge points d'intersection des 3 sphères :
J'ajoute quelques détails à ton intention si tu es curieux Delph90.
Détails à ne surtout pas mentionner au grand oral sous peine de subir des questions auxquelles tu ne pourras pas répondre.
Les plans des 3 cercles sont sécants suivant la droite définie par les deux points d'intersection des sphères.
À une autre époque tout bachelier savait que cette droite était l'ensemble des points ayant même puissance par rapport aux 3 sphères : leur axe radical :
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