Bonjour à tous,

Je suis élève de spécialité maths en terminale et j'aimerais faire mon grand oral sur les GPS, plus précisément le principe de trilatération des GPS en faisant le lien avec les équations paramétriques de droites (qui sont au programme de spé maths terminale). Le problème, c'est que cela fait intervenir les équations de cercles et ou de sphères qui sont apparemment au programme de première spé maths, mais qui dans mon cas à été zappé. De plus, ma prof actuelle m'a dit de faire de faire mon sujet sur la trilatération en 3D (et pas en 2D comme les modèles simplifiés que l'on peut trouver dans des vidéos explicatives sur internet). Or, je pense avoir plutôt bien compris le principe mais je peine à comprendre et trouver comment on peut passer d'équations de sphères à des équations/systèmes d'équations paramétriques de droites, d'où mon post.

Si cela peut vous aider, voilà un aperçu du contexte (avec des données en km un peu bidon, je m'excuse pour ça) :
J'ai compris que les satellites envoient des ondes à la vitesse de la lumière (environ 300000km/s) aux récepteurs (GPS de voitures, smartphones,...) et l'heure où ils ont envoyés ces ondes.
Le récepteur sait quand il les reçoit. A partir de là, on peut calculer la distance entre chaque satellites et le récepteur (grâce à la formule :  distance = vitesse*temps).
Comme le but est de trouver les coordonnées en 3D du récepteur, on ne les connaît pas et le récepteur peut se trouver n'importe où autour des satellites mais à la distance indiquée.
Admettons que le premier satellite est à 20200km du récepteur, que le deuxième est à 20400, le troisième à 20500 et le quatrième à 20600 (pour dire des chiffres).
Schématiquement, on aurait le satellite 1 qui serait le centre d'une sphère de rayon 20200km, le satellite 2 qui serait le centre d'une sphère de rayon 20400km, le satellite 3  entouré d'une sphère de rayon 20500km, et le satellite 4  entouré d'une sphère de rayon 20600km.
Le récepteur est au point d'intersection de ces 4 sphères (puisque s'il n'y avait qu'un seul satellite, il serait n'importe où sur la surface de la sphère ; s'il n'y avait que 2 satellites, il pourrait être n'importe où sur le cercle formé par l'intersection à la surface des deux sphères ; s'il n'y avait que 3 satellites, il pourrait être à deux points différents. Il en faut donc minimum 4).

Je sais qu'une sphère de centre S=[x0,y0,z0] et de rayon R a pour équation cartésienne : (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2. Mais je ne sais pas et n'arrive pas à trouver comment on passe d'une équation de sphère à une équation paramétrique de droite. D'après ce que j'ai réussi à comprendre, ce serait une histoire de soustraction entre deux équations de sphère pour simplifier les carrés, mais je ne vois pas bien le principe.

Pouvez-vous m'expliquer, s'il vous plaît ?