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Graphe homéomorphe a X
Bonjour,
J'ai du mal comprendre la correction de cet exercice.
Soit f une application continue d'un espace topologique (X,T) dans un espace topologique (Y,T').
Montrer que le graphe G = est homéomorphe a X.
On voit que l'application g : qui associe x a (x,f(x)) est bijective et continue car x est continue et f(x) est continue.
Maintenant il suffit de montrer que l'application réciproque h : est continue et c'est fini non ?
Pour tout ouvert O de T Ouvert de G.
Et la je ne sais pas comment faire.
Les ouverts de G sont les ouverts de la topologie produit de X x Y intersecté avec G, c'est bien ca ( la topologie induite sur G par la topologie produit sur X x Y) ?
Bonjour sox.
Ce que l'on attend de celui à qui on pose ce genre d'exercice, ce n'est pas qu'il débite la définition d'un homéomorphisme, mais qu'il donne la bonne topologie sur les bons ensembles, ce qui rendra lesdits bons ensembles homéomorphes.
On note dans un premier temps que l'application telle que tu l'as définie est bien bijective, certes, mais de
dans
Donc G est une partie de
.
Maintenant, quid des topologies ? (tu l'as compris, le passage le plus important)
- Sur Im(f), on met la topologie induite par T'.
- Sur ? Celle qui rend les projections
et
continues.
- Sur G, on met alors la topologie induite par celle de .
Maintenant, et seulement maintenant, on peut se permettre de parler de la continuité de .
Il faut donc prendre un ouvert O de G et montrer que g-1(O) est un ouvert de X.
N.B. : tu as utilisé le fait que et
sont continues, ça aurait marché si tu avais voulu montrer la continuité de
de
, malheureusement tu dois montrer la continuité de
de
.
Reste à montrer selon le même principe que g-1 est continue. Or g-1 n'est rien d'autre restreinte à G.
Il ne reste plus qu'à conclure proprement.
Bonjour,
Soit et
les projections et
l'injection canonique (vu que
). L'on munit
de la moins fine des topologies qui rendent continues les projections (appelée topologie produit) et
de la moins fine des topologies qui rendent
continue (appelée topologie induite). Soit alors
qui est clairement bijective. Soit maintenant arbitrairement choisi. Alors, l'on sait (enfin je l'espère) que
Je te laisse conclure cette partie. D'autre part, l'application est-elle ouverte ? Pourquoi ? Conclusion ?
Merci de votre aide.
Jsvdb je n'arrive pas a comprendre pourquoi G est une partie de .
Pourquoi est faux ?
ThierryPoma pourquoi la topologie induite sur G est la la moins fine qui rend i continue ?
Aussi en lisant mon cours je pensais que g:X->G continue ssi les composantes p1og:X->1ere partie de G et p2og:X->2ieme partie de G (les projections étants p1:G->1ere partie de G et p2:G->2ieme partie de G). Mais ce n'est pas la meme chose que vous avez écrite.
G c'est le graphe donc c'est inclus dans X x Y, mais apres je suis confus sur quels ensembles de départ et d'arrivé il faux raisonner.
1.Soient E et F des topologiques , u : E
F et B une partie de F contenant u(E) .
Si (E,u,F) est continue alors (E,u,B) l'est aussi .
En effet : Soit V un ouvert de B et soit W ouvert de F tel que V = B
W .
Comme u-1(V) = u-1(W) ( à prouver ) u-1(V) est un ouvert de E puisque u-1(W) en est un du fait de la continuité de (E,u,F) .
2.Conséquence :
Si X et Y sont des topologiques et f : X Y est continue , h : x (x,f(x) est une bijection continue de X sur Gf .
Pour montrer que h-1 est continue :
Soit U un ouvert de X . Il s'agit de montrer que h(U) est un ouvert de G .
Or W = U
Y est un ouvert de XY et GW = { (x,f(x)) | x 
U } n'est autre que h(U) .
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