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Graphe probabilise
Posté par Kekeee
Bonjour, je n'arrive pas à venir à bout d'une démonstration:
Soit la matrice de transition M telle que:
M=
Soit 
un graphe probabiliste d'ordre n. Un vecteur X=(x1 x2 ... xn tel que: 
i
{1,...,n}, xi [0;1] et x1+...+xn=1. X est appelé état probabiliste du système où le système est la donnée des n sommets du graphe numérotés de 1 à b.
Un changement d'état du système est le passage de l'état du système est le passage de l'état probabiliste X à l'état probabiliste XM. Prouve que XM est bien un état probabiliste.
Voilà, je viens de commencer la partie sur les graphes, je n'y connais que peu de choses et surtout je n'ai aucune idée de comment démontrer cela ou encore de ce qu'est exactement un état probabiliste. En bref, cela nous est demandé dans le cours que je trouve catastrophique. Même avec des recherches sur internet et des essaies de ma part je ne parviens à rien. Merci de votre compréhension et pour votre futur aide.
Un graphe probabiliste permet de représenter les différents états possibles d'un système et de modéliser les transistions entre ces états. Un graphe probabiliste d'ordre n est un graphe avec n sommets. Chaque sommet représente un état possible de ton système. Ces sommets sont reliés entre eux par des arrêtes. Ces arrêtes représentent chacune des transitions possibles entre deux états.
Ici dans ton exemple avec la matrice M, nous avons 3 sommets/3 états, l'état 1, l'état 2, l'état 3. La probabilité pour aller de l'état 1 à l'état 1 est de 0.6. La probabilité pour aller de 1 à 2 est de 0.2. La probabilité pour aller de 1 à 3 est de 0.2. La probabilité pour aller de 2 à 1 est de 0.1, etc etc. Je te conseille de faire le graphe par dessin, ça t'aidera beaucoup. Tu représentes les différents sommets du graphe et tu les relies avec les arrêtes et tu notes la valeur dans chaque arrête.
Ce système est sous un régime discret (c'est à dire qu'à chaque 'tour', le système passe d'un état à un autre). La question est comment connaître l'état de ton système au tour 4, 8, 100 ou 9000 etc. C'est pour cela qu'on utilise le graphe. Avec ton graphe, on va déterminer la probabilité qu'au tour 4, 8, etc les probabilités que ton système soit à l'état 1, l'état 2 ou l'état 3. On doit donc déterminer 3 valeurs pour chaque tour. Ces 3 valeurs forment un vecteur qui est ton vecteur X qui s'appelle l'état probabiliste du système car x1 représente la probabilité que ton système soit à l'état 1, x2 représente la probabilité que ton système soit à l'état 2 et x3 représente la probabilité que ton système soit à l'état 3. Imaginons que la probibalité que ton système soit à l'état 1,2 ou 3 est le vecteur X. Un nouveau tour vient de passer, tu veux connaitre les nouvelles probabilités que ton système soit à l'état 1,2 ou 3. Pour cela tu prends ton graphe et tu écris les formules pour les nouveaux x1*, x2* et x3*.
Je te donne x1* et tu fais les autres:
x1* = 0.6 x1 + 0.1 x2 + 0.2 x3 (car pour aller de 1 à 1, la proba est de 0.6, pour aller de 2 à 1 elle est de 0.1 et pour aller de 3 à 1 elle est de 0.2)
Quand tu auras donner la formule de x1*, x2* et x3*, tu reconnaitras la formule matricielle X* = XM et ainsi tu comprendras l'intérêt de la formule matricielle et l'intérêt de la matrice de transition M. Voilà ce qu'est un graphe probabiliste, son intérêt et les outils qu'il y a avec. N'hésite pas à poser des questions si tu en as.
Pour ce qui est de la question de ton exercice, tu dois montrer que:
x1* + x2* + x3* = 1 et que 0<=x1*<=1, 0<=x2*<=1 et 0<=x3*<=1 (J'ai repris la définition de ton exercice)