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Posté par Profil amethyste 09-03-17 à 11:46

Bonjour

En ayant strictement appliqué (enfin sauf erreur)  la définition d'un homomorphisme particulier de \mathbb {Z}\rightarrow G avec G un groupe
la définition de cet endomorphisme là noté x|\rightarrow x^n et donnée par Jacqueline Lelong-Ferrand dans son livre d'algèbre
j'ai obtenu la démonstration que
\forall x\in G,\exists n\in \mathbb {N}*,x^n=x^{-1}

mais est-ce vrai?

Posté par
jsvdbre : groupe 09-03-17 à 12:10

Bonjour amethyste
Visiblement, il doit manquer une donnée car \Z \rightarrow \R;n \mapsto n ne vérifie pas la conclusion.
Donc, j'imagine que G doit être un groupe fini.
Auquel cas la conclusion est vraie.

Posté par Profil amethystere : groupe 09-03-17 à 12:18

merci oui il est fini

donc ma démo  c'est ok

mais je n'avais pas confiance  

Posté par Profil amethystere : groupe 09-03-17 à 12:20

merci JSVDB

Posté par
jsvdbre : groupe 09-03-17 à 12:24

Je t'en prie.
Et n'oublies de modifier ton niveau dans ton profil ...

Posté par
ThierryPomare : groupe 09-03-17 à 12:30

Bonjour,

C'est peut-être moi, mais il y a des choses que je ne comprends pas.

Précisément : Soit (G,\,\star) un groupe pas nécessairement fini et g\in{G} arbitrairement choisi. Alors, il est clair (pas si évident que çà à établir) que \varphi_g:(\Z,\,+)\to(G,\,\star) tel que n\mapsto{g}^n est un morphisme de groupes, avec \mathrm{im}\,\varphi=<g> et \ker\,\varphi=m\,\Z, où m\in\Z.

Posté par
ThierryPomare : groupe 09-03-17 à 12:31

Erratum :

(...) tel que n\mapsto{g}^{\star\,n} est un morphisme de groupes (...)

Posté par
ThierryPomare : groupe 09-03-17 à 12:33

Erratum :

(...) avec \mathrm{im}\,\varphi_g=<g> et \ker\,\varphi_g=m\,\Z, où m\in\Z.

Posté par Profil amethystere : groupe 09-03-17 à 12:46

ma démo pour G fini, est faite pour n un entier naturel non nul
chez Jacqueline Lelong-Ferrand la définition dex^nn'est pas la mèème (accent circonflexe sur e clavier virtuel) si n est supérieur à 1 que si n est négatif

pour ma démo je suis parti avec n est supérieur à 1

Posté par Profil amethystere : groupe 09-03-17 à 12:53

erratum je voulais dire supérieur ou égal à 1

Posté par Profil amethystere : groupe 09-03-17 à 14:56

tiens autre erratum sur mon premier message je voulais dire
homomorphisme
bon je vais quand mèème(accent circonflexe sur e clavier virtuel)refaire ma démo

Posté par Profil amethystere : groupe 10-03-17 à 08:13

j'ai tout refais
il y avait une erreur dans ma démo

Posté par Profil amethystere : groupe 10-03-17 à 10:06

je reviendrai avec un résultat correct(ou sinon adieu)
j'ai juste oublié de dire qu'en attendant là à 10 heures du matin tout ce que j'ai fais est FAUX mais je sais pourquoi
j'ai tout à refaire  alors à plus tard


Posté par
jsvdbre : groupe 10-03-17 à 10:38

Je ne saisis pas où est la difficulté

Si tu es dans un groupe fini, tu considères g \in G-\{e\} et l'ensemble <g> = \{g^n / n \in \Z\}.

<g> est donc fini. Notons \mathfrak g = Card (<g>).

Il existe alors un entier 0 < N \leq \mathfrak g  tel que g^N = e.

En effet, en supposant que g^{\mathfrak g} \neq e , il existe alors 0 < p <\mathfrak g  tel que g^{\mathfrak g} = g^p et on il vient g^{\mathfrak g-p} = e

On peut même montrer facilement que N = \mathfrak g.

Il s'ensuit : \blue \boxed {g^{\mathfrak g-1} = g^{-1}}. Comme on avait supposé g \neq e alors \mathfrak g > 1 et le résultat s'en déduit immédiatement.

Posté par Profil amethystere : groupe 10-03-17 à 21:03

merci JSVDB

bonne idée pour l'utilisation de <g>

sinon j'ai un résultat pour tout groupe fini ou non

soit G un groupe alors\forall x\in G on vérifie l'implication

(\exists n \in \mathbb {N}*,x^{n}=x^{-1 } )\Rightarrow (\exists m \in \mathbb {N}*,x^{1-m}=x^2)

pour avoir ce résultat ma démo fait environ 30 lignes

Posté par
jsvdbre : groupe 10-03-17 à 21:37

30 lignes ... gloups, ça en fait 29 de trop : x^n = x^{-1} \Rightarrow x^{-n} = x \Rightarrow x^{1-n} = x^2

Posté par Profil amethystere : groupe 10-03-17 à 21:48

sinon là un résultat démo en trois lignes pour tout groupe fini

si G est fini alors pour tout x de G il existe n tel que x^n=e  l'élément neutre de G

puisque   pour tout x de G(fini) il existe n>1 tel que x^n=x

alors  x^n=x^{n-1}x

alors ici  x^n=x^{n-1}x=x et aussi x^n= ex=x
mais tous les éléments d'un  groupe sont réguliers donc ici x^{n-1}=e pour x régulier à droite

Posté par Profil amethystere : groupe 10-03-17 à 22:09

Bonsoir JSVDB

pour l'autre en 30 lignes

il me fallait démontrer 6 égalités pour pouvoir écrire sans risque ce que tu as dit
mais bon l'autre est en 3 lignes  


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