Bonjour

Un élément d'ordre 2, vérifie et . Le sous-groupe engendré par est donc

Du coup le sous-groupe engendré par x, y avec x et y d'ordre 2 est {e, x, y} ?

Que fais-tu de xy?

ah oui, j'ai oublié de le mettre , du coup le sous-groupe engendré par x, y est : {e, x, y, xy}

Si tu as justifié, c'est bien ça. Et alors?

on a x et y d'ordre 2, pgcd(ord(x),ord(y)) = 2
du coup, l'ordre xy est différent de ord(x)*ord(y) = 4 car le pgcd 1
Je ne vois pas comment trouver l'ordre du sous-groupe

Ok. N'as-tu pas quelque part le fait que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre d'un groupe?
Sinon, comme ton groupe a 6 éléments, pour l'instant tu n'en as que 4. Montre que si tu prends un z ailleurs que dans ce sous-groupe, tu en auras au moins 8.
Conclusion, il est impossible de n'avoir que des éléments d'ordre 1 ou 2 dans un groupe d'ordre 6.

Je dois partir. Quelqu'un prendra ma suite.

l'ordre du sous-groupe engendré par x, y est 4 (car le sous-groupe possède 4 éléments)

Dans la question d'après on me demande d'en déduire que G possède un élément g qui est d'ordre ni 1, ni 2
Je pense qu'il faut utiliser la méthode donner par Camélia, mais je ne comprends pas comment faire.

Bonsoir,
Camelia t'a demandé si tu n'as pas dans ton cours que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe. Tu n'as pas répondu.

Bonjour,
Oui, j'ai bien ça dans mon cours, c'est le théorème de Lagrange

Est-ce que 4 divise 6 ?

Non, sinon on aurait un nombre irrationnel

Vous pensez que on peut utiliser le théorème de Cauchy, qui dit que si G est un groupe fini d'ordre n. Pour tout diviseur premier p de n, il existe dans G au moins un élément d'ordre p.
Donc ici, il existe au moins un élément d'ordre 3

Ce n'est visiblement pas attendu que tu utilises ça. Tu ne veux vraiment pas réfléchir à l'utilisation du théorème de Lagrange pour montrer que ne peut pas être d'ordre 6 ?