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Niveau Licence Maths 1e ann
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groupe abélien fini

Posté par
green
12-05-13 à 12:59

Bonjour,

y aurait t-il une méthode simple de déterminer tout les sous-groupe abélien d'ordre 108 ?
Je sais que 108=2^2\cdot 3^3. J'ai une méthode un peu ad-hoc, mais j'ai toujours peur d'en oublier.
Par exemple, 2\mid 2\cdot 3^3 donc \Z/2\Z\times \Z/54\Z en est un.
Et je cherche en fait tout les d_i tel que d_1\mid d_2\mid... mais j'en oublie à chaque fois.

De plus, on a que pgcd(4,27)=1 donc par le théorème chinois, on devrait avoir \Z/4\Z\times \Z/27\Z devrait en être un, mais il ne figure pas dans mon corrigé et je ne comprend pas pourquoi. Ce que j'ai sont:
\Z/2\Z\times \Z/54\Z
\Z/6\Z\times \Z/18\Z
\Z/3\Z\times \Z/6\Z\times \Z/6\Z
\Z/3\Z\times \Z/3\Z\times \Z/12\Z
\Z/3\Z\times \Z/36\Z
\Z/108\Z

Comment arriver à cela simplement (et savoir qu'on a n'a pas oublié)

merci

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:04

Citation :
y aurait t-il une méthode simple de déterminer tout les sous-groupe abélien d'ordre 108 ?


Les sous-groupes de quoi ?

Posté par
green
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:06

Pardon, tout les groupe abélien d'ordre 108 (à isomorphisme près)

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:21

Z/Z4 x Z/27Z est isomorphe à Z/180Z, donc il est dans ton corrigé. Une méthode possible est de partir de la factorisation complète :

Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z x Z/3Z x Z/3Z

et de "grouper" des facteurs identiques. Par exemple tu peux regrouper les deux facteurs 2 pour obtenir

Z/4Z x Z/3Z x Z/3Z x Z/3Z

qui est bien un autre groupe. Ensuite tu peux grouper des facteurs 3 pour obtenir

Z/4Z x 2/3Z x Z/9Z

et

Z/4Z x Z/27Z

qui sont deux autres gorupes. Et enfin

Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z x Z/9Z

et

Z/2Z x Z/2Z x Z/27Z

et c'est terminé.

Posté par
green
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:22

mais on n'a pas les même que dans mon corrigé
je suppose qu'ils sont isomorphes à ceux de mon corrigé, mais je ne comprend pas ta méthode.
merci

Posté par
green
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:23

y aurait t-il une formule me permettant de savoir combien de groupe isomorphes il y a ?
merci

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:26

On a 5 facteurs

Z/2Z, Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z, Z/3Z

On veut chercher toutes les façons de les combiner. On a deux façons de combiner les facteurs 2 : Z/4Z et Z/2Z x Z/2Z. On a trois façons de combiner les facteurs 3 : Z/27Z, Z/9Z x Z/3Z et Z/3Z x Z/3Z x Z/3Z. Pour obtenir un groupe d'ordre 108, on fait le produit d'une combinaison de facteurs 2 et d'une combinaison de facteurs 3.

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:36

Et en faisant ça tu obtiens bien tous les groupes. Si je pars d'un groupe que tu a

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:39

Mince...

Si je pars d'un groupe que tu as dans ton corrigé, par exemple Z/6Z x Z/18Z. Je peux séparer dnas chaque facteur les puisances de 2 et les puissances de 3 :

Z/6Z = Z/2Z x Z/3Z, car 2 et 3 sont premiers entre eux

et

Z/18Z = Z/2Z x Z/9Z, car 2 et 9 sont premiers entre eux

Donc au final c'est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z x Z/9Z.

Posté par
green
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 13:49

Juste un petit truc (ensuite je te ferais un retour sur ce que tu m'as écris). Par exemple, si on me demandais tout les groupe abélien d'ordre 4, on est bien d'accord que ce sont ceux isomorphe à:
\Z/2\Z\times \Z/2\Z ou \Z/4\Z.
Mais n'y a t-il pas un petit problème dans le sens où \Z/4\Z est d'ordre 4, mais que \Z/2\Z\times \Z/2\Z est annulé par 2 et ne peut donc être d'ordre 4, ainsi, un groupe d'ordre 4 ne peut être isomorphe à \Z/2\Z\times \Z/2\Z si ?
merci

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 14:00

Que veux-tu dire par "annulé par 2" ? L'ordre d'un groupe, c'est simplement le cardinal de l'ensemble sous-jacent. Il est clair que le cardinal de l'ensemble Z/2Z x Z/2Z est 4.

Posté par
green
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 14:01

pour moi, n est l'ordre d'un groupe si et seulement si il existe un élément d'ordre n

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 14:05

Bah pour le reste du monde, non. Sinon tout groupe serait d'ordre 1, puisqu'il existe toujours un élément d'ordre 1 (l'identité).

Posté par
green
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 14:08

en effet, je me mélange un peu les pinceaux...
bon, je relis tout ça et te ferais un retour,
un grand merci

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 14:12

Tu semble penser à l'exposant. L'exposant d'un groupe G est le plus petit entier n (s'il existe) tel que pour tout g de G on a g^n = e. Ce n'est pas la même chose que l'ordre du groupe, les deux sont égaux si et seulement si le groupe est cyclique.

Posté par
green
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 14:12

merci de me le préciser, je comprend mieux

Posté par
Bachstelze
re : groupe abélien fini 12-05-13 à 14:15

Citation :
les deux sont égaux si et seulement si le groupe est cyclique.


Pardon, ceci est vrai si (et seulement si) le groupe est supposé abélien...



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