Bonjour,
y aurait t-il une méthode simple de déterminer tout les sous-groupe abélien d'ordre 108 ?
Je sais que . J'ai une méthode un peu ad-hoc, mais j'ai toujours peur d'en oublier.
Par exemple, donc
en est un.
Et je cherche en fait tout les tel que
mais j'en oublie à chaque fois.
De plus, on a que donc par le théorème chinois, on devrait avoir
devrait en être un, mais il ne figure pas dans mon corrigé et je ne comprend pas pourquoi. Ce que j'ai sont:
Comment arriver à cela simplement (et savoir qu'on a n'a pas oublié)
merci
Z/Z4 x Z/27Z est isomorphe à Z/180Z, donc il est dans ton corrigé. Une méthode possible est de partir de la factorisation complète :
Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z x Z/3Z x Z/3Z
et de "grouper" des facteurs identiques. Par exemple tu peux regrouper les deux facteurs 2 pour obtenir
Z/4Z x Z/3Z x Z/3Z x Z/3Z
qui est bien un autre groupe. Ensuite tu peux grouper des facteurs 3 pour obtenir
Z/4Z x 2/3Z x Z/9Z
et
Z/4Z x Z/27Z
qui sont deux autres gorupes. Et enfin
Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z x Z/9Z
et
Z/2Z x Z/2Z x Z/27Z
et c'est terminé.
mais on n'a pas les même que dans mon corrigé
je suppose qu'ils sont isomorphes à ceux de mon corrigé, mais je ne comprend pas ta méthode.
merci
On a 5 facteurs
Z/2Z, Z/2Z, Z/3Z, Z/3Z, Z/3Z
On veut chercher toutes les façons de les combiner. On a deux façons de combiner les facteurs 2 : Z/4Z et Z/2Z x Z/2Z. On a trois façons de combiner les facteurs 3 : Z/27Z, Z/9Z x Z/3Z et Z/3Z x Z/3Z x Z/3Z. Pour obtenir un groupe d'ordre 108, on fait le produit d'une combinaison de facteurs 2 et d'une combinaison de facteurs 3.
Mince...
Si je pars d'un groupe que tu as dans ton corrigé, par exemple Z/6Z x Z/18Z. Je peux séparer dnas chaque facteur les puisances de 2 et les puissances de 3 :
Z/6Z = Z/2Z x Z/3Z, car 2 et 3 sont premiers entre eux
et
Z/18Z = Z/2Z x Z/9Z, car 2 et 9 sont premiers entre eux
Donc au final c'est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z x Z/3Z x Z/9Z.
Juste un petit truc (ensuite je te ferais un retour sur ce que tu m'as écris). Par exemple, si on me demandais tout les groupe abélien d'ordre 4, on est bien d'accord que ce sont ceux isomorphe à:
ou
.
Mais n'y a t-il pas un petit problème dans le sens où est d'ordre 4, mais que
est annulé par 2 et ne peut donc être d'ordre 4, ainsi, un groupe d'ordre 4 ne peut être isomorphe à
si ?
merci
Que veux-tu dire par "annulé par 2" ? L'ordre d'un groupe, c'est simplement le cardinal de l'ensemble sous-jacent. Il est clair que le cardinal de l'ensemble Z/2Z x Z/2Z est 4.
Bah pour le reste du monde, non. Sinon tout groupe serait d'ordre 1, puisqu'il existe toujours un élément d'ordre 1 (l'identité).
en effet, je me mélange un peu les pinceaux...
bon, je relis tout ça et te ferais un retour,
un grand merci
Tu semble penser à l'exposant. L'exposant d'un groupe est le plus petit entier
(s'il existe) tel que pour tout
de
on a
. Ce n'est pas la même chose que l'ordre du groupe, les deux sont égaux si et seulement si le groupe est cyclique.
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