Bonjour,
il me semble qu'à partir des définitions de chaines de quotients, c'est trivial.
Si un groupe est abélien, alors ses quotients le seront non?

Bonjour,

montre direct abelien implique resoluble c'est evident.

je dois montrer les 2 appications.

Si un groupe est abelien son groupe derive est reduit à 1 donc il est nilpotent.

merci Cauchy !
C'est surtout la deuxieme implication que j'ai du mal à faire
En tout cas, merci pour les réponses !

Si tu sais que G resoluble ssi il existe un p tel que D(p)(G)={1} (iteres du groupe derivé) alors montre que D(k)(G) inclus dans G(k) pour tout k.

Comme cela si G resoluble il existe un n tel que G(n)={1} et tu peux conclure.

en fait, j'ai une définition de groupe résoluble qui dit qu'un groupe est résoluble s'il existe des sous groupes (e)=Nr c ... c N1 c N0 = G   (c = inclus !) tels que Ni est distingué dans N(i-1) et N(i-1)/Ni est abélien.
Comment partir pour montrer qu'un groupe nilpotent est résoluble ?
Merci

Tu connais le groupe derivé D(G),tu peux definir par recurrence D(k)(G)=D(D(k-1)(G) et montrer que s'il existe n tel que D(n)(G)={1} alors G resoluble (il suffit de prendre la suite des D(k)(G) commme suite de resolubilite). (**)

Maintenant dans la definition d'un groupe nilpotent tu definis d'abord C^(1)(G)=D(G) puis par recurrence C^(k)(G)=[C^(k-1)(G),G] le sous groupe engendré par les commutateurs  de C^(k-1)(G) et G.

Ensuite tu peux montrer par recurrence que D(k)(G) inclus dans C^(k)(G)  donc s'il existe n tel que C^(n)(G)={1}(donc si G nilpotent) alors tu auras D(n)(G)={1} donc G resoluble d'apres (**).

Bonjour !
Malgré toutes vos explications, je n'arrive toujours pas à montrer qu'un groupe nilpotent est résoluble.
La définition de nilpotent que j'ai est la suivante : "Un groupe est nilpotent si G(k)=(e) pour k * où G(k) est défini par G(0)=G et G(k)=[G(k-1),G] si k *
Merci encore de l'aide que vous apportez

Bonjour,

oui c'est ce que je te dis montre que D(k) est inclus dans G(k) pour tout k.

Ensuite si G nilpotent il existe donc n tel que G(n)={1} donc a fortiori D(n) C G(n)={1} d'ou D(n)= {1}.

Or s'il existe un n tel que D(n)={1} ,G est resoluble(tu connais cette propriete?).

Bonsoir,
Je ne connais que la propriété que j'ai donné ci dessus.
J'ai encore réfléchis toutes la journée, et je n'y arrive toujours pas !
Tant pis !
Mais merci encore de l'aide apportée !

Bonsoir,

tu connais le groupe derive(ou groupe des commutateurs)?

oui, de plus je l'ai dans la définition de nilpotent.
C'est avec ca que j'ai démontrer qu'un groupe abélien est nilpotent

désolée, je parle du groupe des commutateurs...

Tu as vu aussi les groupes derives D(k)=D(D(k-1)) definis par recurrence. Par exemple D(2) c'est le groupe derive du groupe derive.

Et bien si il existe un n tel que D(n)={1} ton groupe est resoluble ca vient du fait que D(G) est distingue dans G et G/D(G) est abelien donc tu peux considerer la suite 1<D(n)(G)<D(n-1)(G).......<G c'est une suite de resolubilite( les quotients sont abeliens et chaque groupe est distingue dans celui qui le precede).

Donc si tu  montres que D(k) est inclus dans G(k) pour tout k.(c'est assez simple une recurrence,ca decoule de la definition de G(k)).

Ensuite si G nilpotent il existe donc n tel que G(n)={1} donc a fortiori D(n) C G(n)={1} d'ou D(n)= {1} et G resoluble.

Je sais pas si je suis super clair

Bonjour,
Merci Cauchy pour ton aide. Je pense y etre arrivé.
Dans la suite de l'exo, je dois montrer qu'une matrice est nilpotente. Ca veut bien dire que A^n=0 ?
Ma matrice est 2x2, avec des 1 sur la diagonale 0 "en bas" et un chiffre quelconque "en haut". Je ne vois pas comment elle peut etre nilpotente ?!
Merci de l'aide apportée

Bonjour,

ta matrice c'est ca (1 a;0 1)?

Bonjour !
C'est bon, j'ai réussi a le faire...
J'ai fini l'exo
Merci de toute l'aide apportée

De rien