Bonjour à tout le monde, j'ai un petit soucis...
J'aimerais connaitre la définition d'un groupe sous-jacent, mais pas moyen de la trouver...
Voici mon exercice au cas où vous comprendriez mieux avec... :
Soit G un groupe commutatif, noté additivement, tel que pour tout x dans G et tout entier n non nul
il existe un unique y dans G avec ny=x. Montrer que G est le groupe additif sous-jacent à un -espace vectoriel.
Voilà, en fait je ne sais pas quelles propriétés sont à vérifier...
Merci d'avance !
Bonjour
Il y a beaucoup de structures qui font intervenir plusieurs lois. Ainsi, un espace vectoriel est d'abord un groupe (le groupe sous-jacent à sa structure) puis, une loi externe et des conditions de compatibilité. De même, il y a une structure de groupe sous-jacent dans chaque anneau.
Ici, il s'agit de montrer que vous pouvez définir une structure de Q-espace vectoriel en gardant la loi de groupe déjà donnée!
Bonjour Cissou3.
U%n espace vectoriel est un groupe muni en plus d'une loi externe qui permet de multiplier un scalaire par un élément de ce groupe.
Le groupe sous-jacent à un ev G est tout bêtement le GROUPE G, muni de sa loi de groupe uniquement!
Tigweg
Il faut dont que je montre que si je prend la loi de compsition externe ".", que l'on a:
(1) Pour tout x de G on a :
1.x = x (1 étant l'élément neutre de )
(2) Pour tout x et y de G et pour tous q et q' de :
q.(q'x) = (qq').x
et (q+q').x = q.x + q'.x
(3) Pour tous x et y de G et pour tout q de :
q.(x+y) = q.x + q.y
? ? ? ?
Non, il faut d'abord DEFINIR la loi externe. Puis, les vérifications que vous citez viennent toutes seules.
(Non, Tigweg ne sois pas désolé, c'est plus drôle comme ça!)
donc, il faut définir pour tout y de G la division, c'est à dire y=1/n*x
et ensuite vérifier les propriétés que j'ai cité ci dessus
C'est ça ??
Absolument. L'hypothèse permet de définir 1/n*x, puis m/n*x, puis vérifier les axiomes (ceci est presque automatique). Mais sans l'hypothèse, on ne peut pas toujours définir une structure de Q-espace vectoriel. Pensez à Z!
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