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groupe additif sous jacent...?????

Posté par
cissou3
12-11-06 à 14:46

Bonjour à tout le monde, j'ai un petit soucis...

J'aimerais connaitre la définition d'un groupe sous-jacent, mais pas moyen de la trouver...

Voici mon exercice au cas où vous comprendriez mieux avec... :

Soit G un groupe commutatif, noté additivement, tel que pour tout x dans G et tout entier n non nul
il existe un unique y dans G avec ny=x. Montrer que G est le groupe additif sous-jacent à un -espace vectoriel.

Voilà, en fait je ne sais pas quelles propriétés sont à vérifier...

Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteur
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 14:50

Bonjour
Il y a beaucoup de structures qui font intervenir plusieurs lois. Ainsi, un espace vectoriel est d'abord un groupe (le groupe sous-jacent à sa structure) puis, une loi externe et des conditions de compatibilité. De même, il y a une structure de groupe sous-jacent dans chaque anneau.
Ici, il s'agit de montrer que vous pouvez définir une structure de Q-espace vectoriel en gardant la loi de groupe déjà donnée!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 14:51

Bonjour Cissou3.

U%n espace vectoriel est un groupe muni en plus d'une loi externe qui permet de multiplier un scalaire par un élément de ce groupe.

Le groupe sous-jacent à un ev G est tout bêtement le GROUPE G, muni de sa loi de groupe uniquement!


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteur
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 14:51

Salut Camélia et désolé!

Posté par
cissou3
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 15:01

Il faut dont que je montre que si je prend la loi de compsition externe ".", que l'on a:

(1) Pour tout x de G on a :
         1.x = x (1 étant l'élément neutre de )
(2) Pour tout x et y de G et pour tous q et q' de :
         q.(q'x) = (qq').x
     et  (q+q').x = q.x + q'.x
(3) Pour tous x et y de G et pour tout q de :
         q.(x+y) = q.x + q.y

? ? ? ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 15:09

Non, il faut d'abord DEFINIR la loi externe. Puis, les vérifications que vous citez viennent toutes seules.
(Non, Tigweg ne sois pas désolé, c'est plus drôle comme ça!)

Posté par
cissou3
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 15:14

donc, il faut définir pour tout y de G la division, c'est à dire y=1/n*x
et ensuite vérifier les propriétés que j'ai cité ci dessus
C'est ça ??

Posté par
Camélia Correcteur
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 15:16

Absolument. L'hypothèse permet de définir 1/n*x, puis m/n*x, puis vérifier les axiomes (ceci est presque automatique). Mais sans l'hypothèse, on ne peut pas toujours définir une structure de Q-espace vectoriel. Pensez à Z!

Posté par
cissou3
re : groupe additif sous jacent...????? 12-11-06 à 15:23

ok ! Merci beaucoup !
En fait cet exo qui me semblait infaisable est tout simple !
Encore merci !!
;);)



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