Non, ca n'utilise pas le fait que p soit premier. L'ensemble des racines n-iemes de l'unité dans C forment un groupe cyclique.

Donc on le sait car cet ensemble est déjà d'ordre p^l et que tous les éléments sont distincts et premiers entre eux ?

Qu'appelles tu premier entre eux ici?
Tout depend d'où tu pars pour le reste, le fait que l'ensemble des racines n-iemes de l'unité complexes forment un groupe est evident, le fait qu'il y en ait n vient du theoreme de d'alembert gauss et du calcul de la dérivée de X^n-1. Le fait qu'il soit cyclique provient soit d'un résultat general d'algèbre facile (tout sous groupe fini des unités d'un corps est cyclique) soit des propriétés de l'exponentielle (exp(2ik pi/n))=1 ssi k est divisble par n).

J'ai travaillé cet aprèm sur ce que tu m'as dit mais :

Le fait que les racines n-ièmes de est un groupe se montre en passant par la forme exponentielle de ce dernier ?

Par contre je n'ai pas compris quand tu parles du théorème de d'Alembert Gauss le rapport et la dérivée ?

Bonsoir,
les racines n-ième de l'unité sont les nombres .
C'est assez facile à vérifier.

Et on montre sans trop de difficultés que est isomorphe à qui est notoirement un groupe cyclique.

Bonsoir,

Okay pour le premier, mais comment trouves-tu sans difficulté qu'ils sont isomorphes ? Tu passes par le 1er théorème d'isomorphisme ?

Non, tu n'as pas besoin de passer par la forme exponentielle pour montrer que les racines n-ieme de l'unité dans C forment un groupe, si a et b sont deux racines n-ieme de l'unité alors (ab)^n=a^nb^n=1 et (a^{-1})^n=1/a^n=1.
Le théorème de d'alembert t'assure que le polynome T^n-1 a n racines comptées avec multiplicités, comme la dérivée de T^n-1 est nT^{n-1} qui n'a visiblement que 0 comme racine, on en déduit que les racines de T^n-1 sont simples, et donc il y a exactement n-racines n-ièmes de l'unité distinctes.

Pour la cyclicité, relire ce que j'ai dit, soit tu connais les propriétés de l'exponentielles, et alors en notant on voit que toute racine n-ième s'écrit pour un certain l. Le groupe est donc cyclique.

Soit tu démontres le petit lemme que j'ai mentionné dans mon premier message.

D'accord, merci beaucoup de ta réponse, je me lance dans ce que tu as dit !

Si tu connais les propriété de l'exponentielle tu peux aussi bien sur utiliser ce qu'a dit verdurin.
Tu as une application (je note mu_n le groupe des racines n-ieme de l'unité, c'est une notation plus standard) donnée par et dont le noyau est

Okay, ça ça commence à être clair ! Merci