Bonsoir clara301002,

on commence par la première question. Peux-tu montrer que, si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien ? Pour ce faire, tu peux prendre a et b dans G, et t'intéresser à leur classe à droite dans le quotient.

oui je connais cette démonstration ! Mais ici il faut montrer qu'il ne peut pas être cyclique

Non, on te demande de montrer que ce ne peut pas être un groupe cyclique d'ordre strictement supérieur à 1. Si tu connais le résultat que je te suggère, le résultat est immédiat.

Ok donc si G est abélien alors G/Z(G) est d'ordre 1?

Oui étant donné que Z(G) = G dans ce cas.

Ici, on ne sait pas si G est abélien ou non, on est dans le cadre d'un groupe fini et c'est tout. On désire montrer que si le quotient G/Z(G) est cyclique, alors il est nécessairement d'ordre 1.

Maintenant, sachant que si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien, que peux-tu en déduire sur l'ordre du quotient G/Z(G)... ?

Ok merci de votre réponse
oui donc si G/Z est cyclique alors G=Z  (car G abélien) donc G/Z est d'ordre 1 ou 0,  non?

je me suis trompée, pas 0
Mais c'est immédiat ? si G/Z est cyclique alors G=Z et donc l'ordre de G/Z = 1 d'ou G/Z ne peut être cyclique d'ordre supérieur à 1

Si l'on connaît la proposition qui dit G/Z(G) cyclique implique G abélien, alors oui c'est immédiat, mais il faut quand même l'écrire .

Pour le deuxième point, tu peux t'intéresser à l'action de G sur lui-même par conjugaison et classer les classes de conjugaison selon leur cardinal (intéresse toi à celles qui sont de cardinal 1 et fais le rapprochement avec ce qu'on veut montrer). Avec l'équation aux classes, la réduction modulo p et le fait que le cardinal d'une orbite divise toujours le cardinal du groupe, ça devrait le faire.

D'accord merci pour la deuxième j'ai réussi a trouver un élément qui divise le cardinal de Z(G) !
Et pour la troisième ?? j'an ai aucune idée pour celle la

Et merci bcp pour vos réponses

Peux-tu montrer ce que tu as fait pour la question 2 ? Je ne suis pas bien sûr de comprendre ce que tu veux dire. Après, on attaquera la 3.

J'ai fait agir G sur lui même par conjugaison.
Ensuite l'équation des classes donne que le card(G)= somme des cardinaux d'ensemble quotient de card(G) donc puissance de p.
Pour z dans le centre on a gz=z donc l'orbite est réduite au point z.
card(G)=card(Z) + somme des card(Orb) donc p divise card(Z) d'ou Z est différent du neutre

Ok très bien, à lire ton précédent message, je pensais que tu avais trouvé un élément de G dont l'ordre divisait l'ordre de Z(G) ce qui n'avait pas de sens. En effet, modulo p, on en déduit que Z(G) est un p-groupe non trivial.

Maintenant pour la 3, on se donne un p-groupe G d'ordre p². On sait déjà que les groupes (Z/pZ)² et (Z/p²Z) sont des groupes d'ordre p² et on veut montrer que ce sont les seuls à isomorphisme près. On peut raisonner sur l'ordre de Z(G) en utilisant le théorème de Lagrange et la question 2 pour en déduire qu'il est abélien.

On aura deux options : si G possède un élément d'ordre p², alors...
Sinon, tous les éléments non nuls de G sont d'ordre p et je te laisse un peu y réfléchir (as-tu vu certains résultats comme le théorème de structure des groupes abéliens ? on peut clairement faire sans, mais je ne sais pas quelle est la partie du cours que tu travailles).

si G possède un élément d'ordre p² alors G est cyclique donc il est isomorphe a Z/p²Z, c'est juste ?
pour le deuxième cas je ne sais pas du tout

J'ai pas vu ce résultat en cours, mais ici c'est un DM donc le prof a mis des questions qu'on a pas forcément vu en cours.

C'est juste.

Si G ne possède pas d'éléments d'ordre p², on peut se donner un élément g d'ordre p ainsi qu'un deuxième élément qui n'est pas dans le sous-groupe engendré par p par exemple.

donc on prend g un élément d'ordre p et f qui n'appartient pas à <g> ?

Oui, le but étant de montrer que G est isomorphe à (Z/pZ)², ça me semble pas mal de montrer que G est produit direct des sous-groupes engendrés par ces deux éléments.

Juste pour revenir à la première question.
Si G est abélien alors G=Z ça OK mais je suis pas sure de comprendre en quoi ça prouve qu'il ne peut pas être d'ordre supérieur à 1
C'est un résultat d'un théorème qui dit que si un groupe est abélien alors il ne peut être d'ordre supérieur à 1??

Ok merci je vais essayer ça

Non, pour tout entier n, tu as un groupe abélien d'ordre n (regarde le groupe cyclique d'ordre n)... relis ton énoncé.

Montrer que G/Z(G) ne peut être un groupe cyclique d'ordre supérieur à 1.

Ici, on s'intéresse seulement au quotient, pas au groupe G ! Ce que l'on a montré c'est que si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien, donc Z(G) = G et l'ordre du quotient G/Z(G) est 1.

Ok super merci beaucoup de votre aide

Je t'en prie, as-tu réussi pour la dernière question ?

Bonsoir désolée pour le retard
Franchement non ! je viens encore d'essayer et je ne sais pas du tout comment démarrer..

Comment montres-tu que deux sous-groupes H et K d'un groupe G forment un produit direct dans G ?

il faut montrer que <g> est distingué dans G ?
et U<g>h = G ? avec h dans G\<g> ?
Je sais pas trop je suis complètement perdue sur ce chapitre

Mh, tu n'as pas cette notion dans ton cours ? Je sais que tu as déjà précisé qu'il s'agissait d'un dm et qu'éventuellement, ton enseignant donnait des questions plus poussées que le cours, mais ce serait étrange d'utiliser des outils qui te sont inconnus. N'as-tu pas quelque chose dans ton cours à ce sujet ?

Je pourrai t'expliquer après coup la notion si tu veux, c'est celle qui me semble la plus naturelle pour répondre à cette question.

Si tu es aussi à l'aise en algèbre, tu sais peut-être que pour tout nombre premier, Z/pZ est un corps. On peut regarder G comme un Z/pZ-espace vectoriel puisqu'il est abélien et continuer ainsi. Quelle est la méthode qui se rapproche le plus de ton enseignement ?

jai la notion de produit semi direct interne et externe c'est ça ?

Pas vraiment, le produit semi-direct généralise le produit direct. En effet, un produit direct est un produit semi-direct où l'action par automorphisme est triviale, c'est-à-dire correspond au morphisme identité. Pour être plus clair, lorsque tu as deux groupes G et H, on définit le groupe GxH avec les lois (g,h)(g',h') = (gg', hh'), et on dit que c'est le produit direct (externe) de G par H. Comme dans le cas du produit semi-direct, on a aussi le point de vue interne.

On va faire sans la définition et tu vas prouver les choses à la main. Dans le cas où tous les éléments non nuls sont d'ordre p, on choisit h et k tous deux d'ordre p et, pour plus de convenance, on va noter



On définit alors l'application . Montre que :

1) f est un morphisme de groupes ;
2) f est injectif ;
3) en déduire que f est un isomorphisme de groupes ;
4) conclure par l'ordre de H et K.

correction : h et k d'ordre p tels que k n'appartient pas à <h>.