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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Groupe Cylique

Posté par
Arthur68329
02-11-23 à 15:49

Bonjour,
je bloque sur la question suivante :

Si G est un groupe d'ordre n = p1p2...pr tel que (n) et n sont premiers entre eux, avec p1,p2,...,pr des nombres premiers deux à deux distincts et l'indicatrice d'euler.
On note p=p1p2...pr

Pourquoi tout sous-groupe strict de G est cyclique.

Je n'arrive pas à voir pourquoi c'est vrai.

Soit x un élément de H, un sous-groupe strict de G.

- Si x est d'ordre p, alors cas H est cyclique engendré par x.

-Si x n'est pas d'ordre p, alors (x) le sous groupe engendré par x est inclus dans H. Il existe au moins un élément y n'appartenant pas à (x).

Et la je ne sais plus quoi faire, je me dis qu'il faudrait peut être montrer que H est le produit direct de plusieurs sous groupes d'ordre premier distinct en utilisant lagrange pour faire intervenir le théorème des restes chinois. Et je ne sais pas quand faire intervenir le fait que n soit premier avec son indicatrice.

Posté par
carpediem
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 16:10

salut

on dirait bien que p = n ...

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 16:38

Ce que j'ai écrit n'a pas de sens, ça vient du fait que j'ai mal recopiè mon brouillon,

J'ai noté p l'odre de H.

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 16:38

mais ça ne change rien, je reste bloqué.

Posté par
Ulmiere
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 18:48

Si n et premier avec phi(n) et m est un diviseur (strict) de n, est-il vrai que m est premier avec phi(m) ?

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 20:28

Bonsoir Ulmiere,

Pour répondre à ta question, oui m est premier avec phi(m). Ca se montre bien avec Bézout.
Mais je ne vois pas en quoi ça nous avance. Montrer que m est un nombre premier finirait la démonstration. Mais je ne vois pas ce qui nous permettrai de conclure dans ce sens.

Posté par
Ulmiere
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 20:37

Supposons qu'il existe au moins un sous-groupe strict de G qui ne soit pas cyclique. Alors il existerait un plus petit entier m<n et un sous-groupe strict H de cardinal m non cyclique.


Ca simplifie ton problème. Il suffit de montrer que tou groupe dont le cardinal satisfait aux propriétés que tu donnes dans ton énoncé, est forcément isomorphe à Z/nZ (et donc, cyclique). Alors, tu auras une contradiction dans le raisonnement par l'absurde en rouge ci-dessus.

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 21:21

En fait il s'agit une seule question d'un exercice plus large dont le but est de montrer que le groupe G en question est cyclique.

Sauf si j'ai mal compris ce que tu viens de me dire, tu veux que je montre que G est cyclique pour ensuite dire que ses sous groupes sont cycliques. N'est ce pas contre le déroulement de l'exercice?

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 02-11-23 à 21:40

Rebonsoir, je suis un peu embêté car il était dit dans l'énoncer de l'exercice que l'on procédait par récurrence forte sur r. J'en déduis que si H est un sous groupe strict de G, son ordre est un produit de de pi plus petit que n. Et par hypothèse de récurrence, on à que H est cyclique.
Je ne sais pas pourquoi mais la formulation m'a paru étrange. Je vous laisse en juger :


Soit n ∈ N>0 tel que pgcd(n, ϕ(n)) = 1 (où ϕ est l'indicatrice d'Euler). Le but de l'exercice est de prouver que tout groupe d'ordre n est cyclique.

(1) (a) Donner un exemple d'un tel n.

(b) Prouver que la factorisation de n en produit de nombres premiers est de la forme
n = p1 · · · pr avec p1, . . . , pr deux à deux distincts.

(c) La condition de (b) est-elle suffisante ?

On procède par récurrence forte sur r ∈ N, le cas r ∈ {0, 1} étant trivial : on suppose désormais r > 1. Soit G un groupe d'ordre n, dont on note e l'élément neutre.

(2) Expliquer pourquoi tout sous-groupe strict de G est cyclique

....

Posté par
Ulmiere
re : Groupe Cylique 03-11-23 à 00:04

Ah voilà je comprends mieux, ça me semblait un peu rude de balancer ça comme ça au niveau L3.
Je suppose que les questions suivantes portent sur les quotients par des sous groupes et leurs intersections

La recurrence forte est effectivement indiquée ici. La remarque que je t'ai faite au sujet de phi(m) sert à pouvoir dire que H suit l'hypothèse de récurrence au rang m

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 03-11-23 à 09:30

Oui je te remercie, n'ayant pas vu qu'il s'agissait d'une récurrence forte, j'ai passé plusieurs heures sur cette question alors qu'elle n'en demandait pas 15 minutes...

Le mieux étant que je te joigne le reste du sujet, si j'ai d'autres question je te demanderai, merci :

Soit n ∈ N>0 tel que pgcd(n, ϕ(n)) = 1 (où ϕ est l'indicatrice d'Euler). Le but de l'exercice est de prouver que tout groupe d'ordre n est cyclique.
(1) (a) Donner un exemple d'un tel n.
(b) Prouver que la factorisation de n en produit de nombres premiers est de la forme n = p1 · · · pr avec p1, . . . , pr deux à deux distincts.
(c) La condition de (b) est-elle suffisante ?

On procède par récurrence forte sur r ∈ N, le cas r ∈ {0, 1} étant trivial : on suppose
désormais r > 1. Soit G un groupe d'ordre n, dont on note e l'élément neutre.

(2) Expliquer pourquoi tout sous-groupe strict de G est cyclique.

(3) Supposons G simple. On note M l'ensemble des sous-groupes stricts maximaux (au sens de l'inclusion) de G .

(a) Montrer que si H1, H2 ∈ M sont distincts, on a H1 ∩ H2 = {e} [indication : montrer que si x ∈ H1 ∩ H2, son centralisateur CG(x) = {g ∈ G ; g−1xg = x} contient H1 et H2].
(b) Montrer que G \ {e} = H\{e} , avec H dans M
(c) On fait agir G sur M par conjugaison. Montrer que l'orbite de H ∈ M est de cardinal (G : H).
(d) En dénombrant les éléments de G \ {e}, montrer que M ne contient qu'une orbite, puis en déduire une contradiction.


Le groupe G n'est donc pas simple : soit {e} ( H ( G un sous-groupe distingué non trivial. La restriction à H de l'action de G sur lui-même par conjugaison fournit un morphisme de groupes ρ : G → Aut(H).

(4) Montrer que # Aut(H) est premier à n [indication : penser d'abord au cas où #H est un nombre premier].

(5) En déduire que H est inclus dans le centre Z(G) de G.

(6) En déduire que G est abélien.

(7) Conclure que G est cyclique.

(8) Réciproquement, montrer que si n ∈ N>0 est un entier tel que tout groupe d'ordre n est cyclique, alors pgcd(n, ϕ(n)) = 1 [indication : penser aux produits semi-directs].

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 03-11-23 à 22:41

Bonsoir, j'ai une interrogation pour 3.b.

Pour la 3.b. :
J'ai raisonné par équivalences successives en supposant l'égalité vraie. Et par passage au complémentaire dans G, j'ai montré qu'on a bien e=e
Si je pose la question c'est parce que je ne me rappelle pas avoir jamais raisonné de la sorte en theorie des groupes.

Merci bonne soirée.

Posté par
Maisoooo
re : Groupe Cylique 04-11-23 à 13:51

Bonjour, je préconiserais plutôt l'idée que H1 (appartenant à M) est un sous groupe strict de G et par conséquent que tout sous groupe de G contenant H1 est égal à H1 lui-même ou à G. Or on a bien que ∪H contient H1, donc est égal à H1 ou G. Sauf que H1 et H2 sont distinct et tout les deux dans ∪H ainsi ∪H = G --> ∪H\{e} = G\{e}

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 04-11-23 à 14:32

Bonjour, une union de sous groupe n'étant pas en général un sous groupe ( sauf si les ssg sont tous inclus dans un seul, ce qui est exclu) j'ai du mal à voir pourquoi ça serait vrai….
J'aurais même tendance à dire que c'est faux

Posté par
Maisoooo
re : Groupe Cylique 04-11-23 à 14:38

en effet je n'ai pas essayé de montrer que c'est un sg je l'ai admis directement. Il faudrait que je regarde plus serieusement la question

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 04-11-23 à 14:45

Retour à mon idée initiale donc ?

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 04-11-23 à 18:35

Je suis entrain de me battre avec la 4) depuis un petit moment mais je n'y arrive pas dutout.

J'ai écrit que Aut(H) est un sous groupe des bijections de H vers H ( S(H) ). Donc #Aut(H) /o( S(H) ).
J'appelle m l'ordre de H et remarque que S(H) est isomorphe au groupe symétrique Sm. Et après aucun idée ne me vient.

Posté par
Ulmiere
re : Groupe Cylique 04-11-23 à 23:41

C'est là qu'il va falloir trouver le rapport avec phi(n), qui est premier avec n

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 05-11-23 à 11:40

Enfin je crois que j'ai trouvé :

Si H est d'ordre premier p, H\simeq Z/pZ
Donc Aut(H)\simeq Aut(Z/pZ, +)\simeq (Z/pZ,\times )^{\times }

(p) = card(Z/pZ,\times )^{\times } =p-1
Donc #Aut(H)=(p)=p-1 :
#Aut(H) est premier à n.

Si H n'est pas premier, H étant cyclique, on peut le décomposer en produit de k groupes cycliques d'ordre premiers. Ma seule question est :

Est ce que

Aut (Z/p1Z x Z/p2Z x ... x Z/pkZ ) = Aut(Z/p1Z)xAut(Z/p2Z)x...xAut(Z/pkZ).

Merci.

Posté par
Ulmiere
re : Groupe Cylique 05-11-23 à 12:09

Ce n'est pas seulement que H est cyclique, c'est aussi parce que n est sans facteur carré, que H est un produit direct de Z/p_iZ.

Je te propose de réfléchir aux trois choses suivantes. Soient G et H deux groupes.

1) a : Aut(G)\times Aut(H) \to Aut(G\times H)
défini par a(u, v)(g,h) = (u(g), v(h))
est-il un morphisme de groupes ?

2) a est-il injectif ?

3) on suppose de plus que #G et #H sont premiers entre eux.
a est-il surjectif ?

Conclusion ?

Posté par
Arthur68329
re : Groupe Cylique 05-11-23 à 16:53

D'accord je comprends mieux, #G et #H étant premier, par lagrange, l'intersection est réduite au neutre. En découle l'isomorphisme entre le produit des automorphisme et l'automorphisme du produit.

Vu pour cette question.

J'en profite pour les autres questions :

Pour la 5) : Je ne sais pas comment faire intervenir la question précédente. J'avais pensé en utilisant un theorème d'isomorphismes sur mais je n'ai pas trouvé.

Pour la 6) H inclus dans Z(G). Comme Im = Aut(H) et ker=Z(G), G/Z(G) est isomorphe à Aut(H).

De plus #Aut(H) = 1, car H commute avec tous les éléments de G. Donc (G:Z(G)) = 1, d'ou G=Z(G)

Pour la 7) On conclut par le théorème de structure des groupes abéliens finis.

Je n'ai pas encore regardé la 8)



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