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Niveau Licence Maths 1e ann
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groupe d'ordre 4

Posté par
lemmouchia
24-07-14 à 19:06

Bonjour,

Je veux montrer qu'un groupe G d'ordre 4 est isomorphe à Z/4Z ou Z/2Z x Z/2Z.

Donc par lagrange dans un groupe d'ordre 4 tous les éléments sont d'ordre 2 ou 4. Si tous les éléments sont d'ordre 2 c'est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z ça j'ai compris pourquoi.

Mais j'ai pas compris pourquoi si il y a un élément d'ordre 4 alors G est isomorphe à Z/4Z ( dans mon livre il n'y a aucune explication).

Merci

Posté par
kybjm
re : groupe d'ordre 4 24-07-14 à 20:00

Si a est d'ordre 4 l'application n an est un morphisme de groupe de   sur G .

Quel est son noyau ?

Posté par
lemmouchia
re : groupe d'ordre 4 24-07-14 à 20:07

son noyau est 4Z et je conclus avec le théorème d'isomorphisme merci

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 25-07-14 à 05:09

Bonjour.

On peut résoudre le problème en utilisant uniquement les définitions de groupes, d'ordre d'un groupe et  d'isomorphisme de groupes. G admet un élément neutre soit e, il va rester 3 éléments a, b et c. Que peut-être le symétrique d'un élément autre que e?  Le symétrique de, disons a est lui même ou l'un des éléments b ou c.
1) a'=a alors on a soit b'=b donc c'=c ou soit b'=c donc c'=b
2) a'=b donc b'=a et nécessairement c'=c.
Finalement on est en présence de 2 structures possibles à savoir:
a) Chacun des 3 éléments  a,b et c, est son propre symétrique: a'=a, b'=b et c'=c.
b) un élément est son propre disons a, a'=a et les deux autres b et c sont symétriques l'un de l'autre b'=c (==> c'=b)
cas a) G est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z (isomorphisme à expliciter)
cas b) G est isomorphe à Z/4Z.(isomorphisme à expliciter aussi)

PS: Combien y a-t-il de groupes à isomorphisme prés d'ordre 3? d'ordre 2?
Remarque; Les groupes d'ordre n \le 5 sont tous commutatifs

Posté par
athrun
re : groupe d'ordre 4 25-07-14 à 17:51

Bonjour, je me permets de poster car je suis intéressé dans la construction des isomorphismes cités par delta-B.

Supposons donc que G=\{e,a,b,c\}.

\boxed{\cdot} 1er cas :

a=a^{-1}, b=b^{-1}, c=c^{-1}, ce que vérifient aussi les éléments de \bigl(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+\bigr). Dans ce cas-là je poserais évidemment :

\phi(e)=(0,0), et pour construire \phi(a), \phi(b), \phi(c), a priori je peux mettre respectivement comme image (0,1),(1,0),(1,1) ou toute permutation de ces trois éléments...

Par exemple, admettons que je pose :

\phi(e)=(0,0)\ ;
\phi(a)=(0,1)\ ;
\phi(b)=(1,0)\ ;
\phi(c)=(1,1).

Le caractère bijectif de \phi est immédiat, mais pour vérifier que c'est bien un morphisme de (G,\cdot) sur \bigl(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+\bigr), il resterait à montrer que :

\forall g_1,g_2\in G,\ \phi(g_1\cdot g_2)=\phi(g_1)+\phi(g_2)

ce qui, faute d'une expression "toute faite" de \phi, nécessiterait de faire 4^2=16 calculs (moins si commutativité) ?



\boxed{\cdot} 2nd cas :

Je suppose que a=a^{-1}, b=c^{-1} et donc c=b^{-1}.

On remarque que dans \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, 2 est son propre symétrique et 1 est le symétrique de 3. Donc nécessairement, je pose \phi(e)=0, \phi(a)=2 et ensuite j'ai le choix entre

\phi(b)=1,\phi(c)=3 ou \phi(b)=3,\phi(c)=1.

Admettons donc que je pose :

\phi(e)=0\ ;
\phi(a)=2\ ;
\phi(b)=1\ ;
\phi(c)=3.

A présent même question que dans le premier cas : je pense qu'écrire simplement ça ne suffit pas pour le caractère de morphisme de \phi de (G,\cdot) dans \bigl(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+\bigr) et donc qu'il faille refaire les 16 calculs \phi(g_1\cdot g_2)-\phi(g_1)-\phi(g_2).



\boxed{\cdot} Je dirais que dans le même goût, on peut montrer que tout groupe d'ordre 2 est isomorphe à \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} et que tout groupe d'ordre 3 est isomorphe à \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}. J'imagine plus généralement que si un groupe fini est d'ordre p premier, alors celui-ci est isomorphe à \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.

Posté par
carpediem
re : groupe d'ordre 4 25-07-14 à 18:17

salut

G = {e, a, b, c}

on peut aussi considérer le morphismes f(x) = 2x = x + x

soit G = Ker f et G = (Z/2Z x Z/2Z, +)

soit G <> Ker f et G = (Z/4Z, +)

....

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:24

Bonjour.

Au lieu d'essayer de construire l'isomorphisme \phi:(G,cdot) \mapsto  H H =\bigl(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+\bigr) ou H=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} il est plus simple de transposer les opérations de (H,+) dans (G,\cdot) via \phi^{-1} .
Soient x,y \in H et z=x+y, on pose alors
\phi^{-1}(x+y)=\phi^{-1}(x)\cdot \phi^{-1}(y)=\phi^{-1}(z).
Par construction même \phi^{-1} est un morphisme donc un isomorphisme.

Exemple
\phi(e)=(0,0)\ ;\phi(a)=(0,1)\ ;\phi(b)=(1,0)\ ;\phi(c)=(1,1).
\phi^{-1}((0,1)+(1,1))=\phi^{-1}((1,0))=\phi^{-1}((0,1)).\phi^{-1}((1,1))  ce qui donne a . c = b
En remarquant que dans \bigl(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+\bigr)[/tex], la somme de 2 éléments distincts parmi (0,1);(1,0) et (1,1) est le 3ème, on a alors la même propriété dans (G,\cdot) et il est alors rapide de dresser la table de (G,\cdot)

Pour dresser pratiquement la table de (G,.), il suffit de dresser la table de (H,+) et de remplacer dans la table chaque élément x de H par  \phi^{-1}(x).

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:32

salut. je pense queZ/2Z\times Z/2Z est d'ordre 2...

Posté par
Robot
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:46

Qu'appelles-tu l'ordre d'un groupe ?

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:47

Citation :
lemmouchia
Je veux montrer qu'un groupe G d'ordre 4 est isomorphe à Z/4Z ou Z/2Z x Z/2Z

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:49

excuser moi robot juste pour souligner le sens de ce que j'ai dis  (citation)que ....

Posté par
Robot
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:51

Je répète ma question à laquelle tu n'as pas répondu : qu'appelles-tu l'ordre d'un groupe ?

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:57

oui il y difference entre ordre du groupe et ordre d'element ..... merci

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 15:59

c'est pas l'ordre de ces elements ?

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 16:02

c'est pas l'ordre de ces elements .

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 16:09

dans des exercices si x un element a un groupeG D ordre 4 si on construit un isomorphisme avec un groupe G'QUI NE CONTIENT PAS d element d'ordre 4 alors cet isomorphisme ne peut pas exister car par isomorphisme.......

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 16:18

vous pouvez oublier mes interventions ... excuses

Posté par
Robot
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 16:20

Qu'est-ce que ça veut dire, "l'ordre de ses éléments" ? Les éléments d'un groupe ont tous le même ordre ? Tu n'as pas l'air d'avoir les idées très claires, alors reprenons.
L'ordre d'un groupe est son cardinal.
L'ordre d'un élément a d'un groupe est l'ordre du sous-groupe engendré par a, c'est-à-dire le plus petit entier n>0 tel que a^n=1_G (l'élément neutre de G), s'il existe.
Le plus petit entier n>0 tel que tout élément a du groupe G vérifie a^n=1_G (s'il existe) s'appelle l'exposant du groupe G.

Le groupe \Z/2\Z\times \Z/2\Z est d'ordre 4 et d'exposant 2.

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 26-07-14 à 16:22

100%

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 27-07-14 à 18:21

Bonjour

Citation :
Tonm

dans des exercices si x un element a un groupe G d'ordre 4 si on construit un isomorphisme avec un groupe G'QUI NE CONTIENT PAS d element d'ordre 4 alors cet isomorphisme ne peut pas exister car par isomorphisme.......

Si on construit un isomorphisme ......  c'est qu'il existe.
Tout le monde a compris l'abus de langage.

Posté par
Tonm
re : groupe d'ordre 4 27-07-14 à 19:32

On peut quand meme l'ecrire et demander de démontrer qu'il n'existe pas ...:-O

Posté par
athrun
re : groupe d'ordre 4 28-07-14 à 20:23

@ delta-B :

je note   \psi=\phi^{-1},\ \ \psi\colon(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)=(H,+)\longrightarrow(G,\cdot).

Tu écris "soient   x,y\in H   et   z=x+y,   on pose   \psi(x+y)=\psi(x)\cdot\psi(y)=\psi(z).

C'est pas un peu "brutal" d'écrire ça ? Y a pas des problèmes de définition même ? Par exemple si   z=x_1+y_1=x_2+y_2   et que   \psi(x_1)\cdot\psi(y_1)\neq\psi(x_2)\cdot\psi(y_2) ?

Bon, évidemment, après vérification (on peut le faire, il n'y a que quatre éléments), tout marche bien ici, mais la définition de \psi me paraît hyper bancale. Après il est fort possible que je raconte n'importe quoi hein...

Merci de m'éclaire, je pédale dans la semoule là

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 29-07-14 à 00:19

Bonsoir.

Exact avec \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} et non \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
On montre comme tu l'as fait si z=x_1+y_1=x_2+y_2 alors \psi(x_1).\psi(y_1)=\psi(x_2).\psi(y_2) soit compléter la table de (G,.) et montrer que le produit de 2 éléments distincts de \lbrace a,b,c \rbrace est égal au troisième  et que (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+) a la même propriété i.e la somme de 2 éléments distincts de \lbrace{(0,1),(1,0),(1,1)\rbrace} est égale au troisième.
Même remarque pour H=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 29-07-14 à 13:07

Bonjour.

@athrun.

Je viens de réfléchir au problème que tu as soulevé. Celui ne risque pas de se produire en fait par construction même et il est inutile de vérifier tous les cas possibles. En effet en posant p=\psi(x_1)\cdot\psi(y_1)  et  q=\psi(x_2)\cdot\psi(y_2) alors p\ne q et  on aura par construction  
     \phi(p)=\phi(\psi(x_1)\cdot\psi(y_1))=\phi(\psi(x_1+y_1)=x_1+y_1=z
et   \phi(q)=\phi(\psi(x_2)\cdot\psi(y_2))=\phi(\psi(x_2+y_2)=x_2+y_2=z
Ceci contredit le fait que \phi est une applcation bijective donc injective.

Posté par
athrun
re : groupe d'ordre 4 29-07-14 à 20:09

@ delta-B : d'accord pour ton message de 00:19.

En revanche pour ton message de 13:07, on est en train de le définir \psi/\phi donc on ne sait pas encore que c'est un isomorphisme.. ?

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 30-07-14 à 15:36

Bonjour.

Il ne faut oublier qu'on déjà construit ici la bijection \red{\phi (\psi=\phi^{-1})}. L'existence de  z=x_1+y_1=x_2+y_2   vérifiant \psi(x_1)\cdot\psi(y_1)\neq\psi(x_2)\cdot\psi(y_2), conduit au fait que \phi n'est pas une bijection.

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 30-07-14 à 15:51

Ajout drs mots manquants

Il ne faut pas oublier qu'on a déjà construit ici la bijection \red{\phi (\psi=\phi^{-1})}

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 30-07-14 à 16:26

Ajout drs mots manquants

Citation :
Il ne faut pas oublier qu'on a déjà construit ici la bijection \red{\phi~~ (\psi=\phi^{-1})}

A vrai dire ce n'apparait pas explicitemenntment dans les différentes réponses mais seulement au niveau de l'exemple où j'ai donné la bijection. Ce que j'ai dit est valable si effectivement on commence par la construction de la bijection \phi.

Posté par
athrun
re : groupe d'ordre 4 30-07-14 à 20:31

Mais si on suppose déjà que \phi(g) est construit pour tout g dans (G,\cdot), on ne peut plus poser :

\forall x,y\in(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2,\ \phi^{-1}(x+y)=\phi^{-1}(x)\cdot\phi^{-1}(y).

Et donc on est condamné à vérifier pour tout couple (x,y)\in(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 que \phi^{-1}(x+y)=\phi^{-1}(x)\cdot\phi^{-1}(y), comme je le faisais entendre dans mon premier message de ce fil, non ?

Posté par
delta-B
re : groupe d'ordre 4 30-07-14 à 22:17

J'ai supposé c'est la bijection \phi qui est construite  mais pas l'isomorphisme. La bijection qu'on construit tient compte évidemment des propriétés trouvées pour la structure de groupe et en premier pour \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, poser \phi(e)=(0,0) et supposer que chacun des éléments \phi(a), \phi(b) et \phi(c) est associé un élément de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} qui soit son propre symétrique ce qui est trivialement vérifié puisque des élémeent de \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} est son propre symétrique. Reste  bien sur à montrer que \psi est effectivement un isomorphisme ce qui revient à montrer que \phi=\phi^{-1} est un isomorphisme.
Concernant \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, vu ses propriétés, on posera \phi((e)=0, \phi((a)=1, \phi((b)=2, \phi((c)=3, b est nécessairement le 2ème élement qui soit son propre symétrrique, le premier étant l'élément neutre e.



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