Bonjour,
Je veux montrer qu'un groupe G d'ordre 4 est isomorphe à Z/4Z ou Z/2Z x Z/2Z.
Donc par lagrange dans un groupe d'ordre 4 tous les éléments sont d'ordre 2 ou 4. Si tous les éléments sont d'ordre 2 c'est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z ça j'ai compris pourquoi.
Mais j'ai pas compris pourquoi si il y a un élément d'ordre 4 alors G est isomorphe à Z/4Z ( dans mon livre il n'y a aucune explication).
Merci
Bonjour.
On peut résoudre le problème en utilisant uniquement les définitions de groupes, d'ordre d'un groupe et d'isomorphisme de groupes. G admet un élément neutre soit e, il va rester 3 éléments a, b et c. Que peut-être le symétrique d'un élément autre que e? Le symétrique de, disons a est lui même ou l'un des éléments b ou c.
1) a'=a alors on a soit b'=b donc c'=c ou soit b'=c donc c'=b
2) a'=b donc b'=a et nécessairement c'=c.
Finalement on est en présence de 2 structures possibles à savoir:
a) Chacun des 3 éléments a,b et c, est son propre symétrique: a'=a, b'=b et c'=c.
b) un élément est son propre disons a, a'=a et les deux autres b et c sont symétriques l'un de l'autre b'=c (==> c'=b)
cas a) G est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z (isomorphisme à expliciter)
cas b) G est isomorphe à Z/4Z.(isomorphisme à expliciter aussi)
PS: Combien y a-t-il de groupes à isomorphisme prés d'ordre 3? d'ordre 2?
Remarque; Les groupes d'ordre sont tous commutatifs
Bonjour, je me permets de poster car je suis intéressé dans la construction des isomorphismes cités par delta-B.
Supposons donc que .
1er cas :
, ce que vérifient aussi les éléments de
. Dans ce cas-là je poserais évidemment :
, et pour construire
, a priori je peux mettre respectivement comme image
ou toute permutation de ces trois éléments...
Par exemple, admettons que je pose :
Le caractère bijectif de est immédiat, mais pour vérifier que c'est bien un morphisme de
sur
, il resterait à montrer que :
ce qui, faute d'une expression "toute faite" de , nécessiterait de faire
calculs (moins si commutativité) ?
2nd cas :
Je suppose que ,
et donc
.
On remarque que dans ,
est son propre symétrique et
est le symétrique de
. Donc nécessairement, je pose
et ensuite j'ai le choix entre
ou
.
Admettons donc que je pose :
A présent même question que dans le premier cas : je pense qu'écrire simplement ça ne suffit pas pour le caractère de morphisme de de
dans
et donc qu'il faille refaire les
calculs
.
Je dirais que dans le même goût, on peut montrer que tout groupe d'ordre
est isomorphe à
et que tout groupe d'ordre
est isomorphe à
. J'imagine plus généralement que si un groupe fini est d'ordre
premier, alors celui-ci est isomorphe à
.
salut
G = {e, a, b, c}
on peut aussi considérer le morphismes f(x) = 2x = x + x
soit G = Ker f et G = (Z/2Z x Z/2Z, +)
soit G <> Ker f et G = (Z/4Z, +)
....
Bonjour.
Au lieu d'essayer de construire l'isomorphisme où
ou
il est plus simple de transposer les opérations de
dans
via
.
Soient et
, on pose alors
.
Par construction même est un morphisme donc un isomorphisme.
Exemple
ce qui donne
En remarquant que dans \bigl(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+\bigr)[/tex], la somme de 2 éléments distincts parmi et
est le 3ème, on a alors la même propriété dans
et il est alors rapide de dresser la table de
Pour dresser pratiquement la table de , il suffit de dresser la table de
et de remplacer dans la table chaque élément
de
par
.
dans des exercices si x un element
a un groupeG D ordre 4 si on construit un isomorphisme avec un groupe G'QUI NE CONTIENT PAS d element d'ordre 4 alors cet isomorphisme ne peut pas exister car par isomorphisme.......
Qu'est-ce que ça veut dire, "l'ordre de ses éléments" ? Les éléments d'un groupe ont tous le même ordre ? Tu n'as pas l'air d'avoir les idées très claires, alors reprenons.
L'ordre d'un groupe est son cardinal.
L'ordre d'un élément d'un groupe est l'ordre du sous-groupe engendré par
, c'est-à-dire le plus petit entier
tel que
(l'élément neutre de
), s'il existe.
Le plus petit entier tel que tout élément
du groupe
vérifie
(s'il existe) s'appelle l'exposant du groupe
.
Le groupe est d'ordre 4 et d'exposant 2.
Bonjour
@ delta-B :
je note
Tu écris "soient et
, on pose
.
C'est pas un peu "brutal" d'écrire ça ? Y a pas des problèmes de définition même ? Par exemple si et que
?
Bon, évidemment, après vérification (on peut le faire, il n'y a que quatre éléments), tout marche bien ici, mais la définition de me paraît hyper bancale. Après il est fort possible que je raconte n'importe quoi hein...
Merci de m'éclaire, je pédale dans la semoule là
Bonsoir.
Exact avec et non
.
On montre comme tu l'as fait si alors
soit compléter la table de
et montrer que le produit de 2 éléments distincts de
est égal au troisième et que
a la même propriété i.e la somme de 2 éléments distincts de
est égale au troisième.
Même remarque pour
Bonjour.
@athrun.
Je viens de réfléchir au problème que tu as soulevé. Celui ne risque pas de se produire en fait par construction même et il est inutile de vérifier tous les cas possibles. En effet en posant et
alors
et on aura par construction
et
Ceci contredit le fait que est une applcation bijective donc injective.
@ delta-B : d'accord pour ton message de 00:19.
En revanche pour ton message de 13:07, on est en train de le définir donc on ne sait pas encore que c'est un isomorphisme.. ?
Bonjour.
Il ne faut oublier qu'on déjà construit ici la bijection . L'existence de
vérifiant
, conduit au fait que
n'est pas une bijection.
Ajout drs mots manquants
Mais si on suppose déjà que est construit pour tout
dans
, on ne peut plus poser :
.
Et donc on est condamné à vérifier pour tout couple que
, comme je le faisais entendre dans mon premier message de ce fil, non ?
J'ai supposé c'est la bijection qui est construite mais pas l'isomorphisme. La bijection qu'on construit tient compte évidemment des propriétés trouvées pour la structure de groupe et en premier pour
, poser
et supposer que chacun des éléments
,
et
est associé un élément de
qui soit son propre symétrique ce qui est trivialement vérifié puisque des élémeent de
est son propre symétrique. Reste bien sur à montrer que \psi est effectivement un isomorphisme ce qui revient à montrer que
est un isomorphisme.
Concernant , vu ses propriétés, on posera
,
,
,
, b est nécessairement le 2ème élement qui soit son propre symétrrique, le premier étant l'élément neutre e.
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