Bonjour,

Ok pour le cas .

Dans le dernier cas, il faut bien faire attention au fait que l'intersection de tes 7-Sylow est trivial pour pouvoir faire ce décompte.
Effectivement, ensuite il faut prendre en compte les 2-Sylow. Compte les, regarde la place qu'il te reste dans ton groupe et déduis-en qu'il ne peut y en avoir qu'un.

salut

il me semble que le théorème 3 dit que n₇ divise 8 tout simplement ....

ne pas oublier que les 7-Sylow sont isomorphes par conjugaison .... (théorème 2)

@ carpe

Je n'ai jamais utilisé le théorème 2.. du coup, je n'ai AUCUNE idée de comment m'en servir ici.. sérieusement, j'ai cherché cet aprem !

Sinon, je regarde le nombre de Sylow.. on a et divise donc ou ..

on a fini si ..

par contre si , on aurait sept Sylow dont l'intersection est le neutre..
Donc on aurait élément ce qui donne éléments.. et donc je ne sais pas quoi conclure.. !!

Attention avec cette histoire d'intersection de Sylow, elle n'est pas toujours trivial !

Si n7=8, cela signifie que tu as 48 éléments d'ordre 7 et ca ne laisse de la place que pour 8 autre éléments du groupe.
Sylow te dit que dans tous les cas, il existe un 2-Sylow dans ton groupe, c'est à dire un sous groupe de cardinal 8. Fais le décompte et constate qu'on ne peut pas avoir deux tels 2-Sylow distincts (pas forcement d'intersection nul, seulement distinct !).

de toute façon ils ne peuvent être d'intersection nulle ils ont tous le même neutre .... celui de G ...

"
Dans l'unique exemple démontré en T.D (brièvement...).

On a dénombré huit Sylow.
Voici ce qu'il écrit et ce que je comprends.

(a) (ICI j'ai écrit mais je pense que c'est ???)
(l'intersection de deux p- sylow est encore un sous-groupe)

(b)
(le nombre d'éléments d'un Sylow est )

(a) et (b) ou par Lagrange (qui dit que le cardinal d'un sous-groupe de divise le cardinal du groupe ).

Si alors donc et comme on a impossible, donc forcément l'intersection est de cardinal donc le neutre...


Revenons à notre exercice. (|G| = 12)
On a vu
puis

Si on regarde l'intersection de deux sylow distincts.
On a et
Cela implique que | H_i \cap H_j | = 1 ou 3.
si | H_i \cap H_j | = 3 alors H_i \cap H_j = H_i donc H_i \subset H_j et comme | H_i | = | H_j | alors H_i = H_j impossible

pffffff je comprends rien, pour moi y'a AUCUNE différence !
"

Voici le post que j'ai mis dans un autre sujet avec Gabu... Comme c'est exactement le même problème qu'ici je vous montre mon problème ...

@carpediem: Merci pour la correction, mais comme tu l'as compris, je voulais dire "non trivial" = "n'est pas réduit à l'élément neutre" : )

@Cyril12 : Je ne comprends pas ton dernier paragraphe.
Si |G|=12, alors les 2-Sylow sont d'ordre 4 et les 3-Sylow sont d'ordre 3.

Si tu relis attentivement le raisonnement que tu as recopié dans ton premier paragraphe, tu peux voir qu'il est fondé sur la primalité de tes Sylow:
Si H et K sont deux sous groupes de cardinal p premier dans G alors HG est de cardinal 1 ou p.
Par conséquent, soit ces deux groupes sont distincts, soit ils sont égaux.

Si ce cardinal n'est pas un nombre premier, il peut se passer plein de chose à priori. Par exemple l'intersection de deux groupes d'ordre 4 pourrait être non trivial : un groupe d'ordre 2.

Merci pour ton aide Narhm !

Je reprends..


On regarde les 7-sylow. Notons le nombre de 7-sylow.
On a

On a donc
Et
r = 0 donne possible
r = 1 donne possible

Si on a c'est fini, mais si . On regarde l'intersection des 7-sylow.. Je ne refais pas la démo, mais ici dans G de cardinal 56, les 7-sylow sont de cardinaux 7, qui est premier. Donc deux 7-sylow sont soient égaux, soient distincts. (Comment sait-on ?)

Je suppose qu'ils sont distincts, et qu'ils n'ont donc que l'élément neutre en commun. Ainsi, il y a 8 * 6 éléments + 1 = 49 éléments d'ordre 7. Il en reste donc 56 - 49 = 7

On regarde les 2-sylow, n_2 | 7 donc \in \{1, 7}
et n_2 = 1 + 2r

En somme, si on a n_2 = 1, c'est fini, mais si n_2 = 7, on regarde l'intersection..
Les 2-sylow ont un cardinal de 8 dans G ici.
Mais ils sont tous égaux (mais pourquoi ?)
Donc il y a un 2-sylow et c'est fini..

Alors voici mon raisonnement, je sais qu'il y a beaucoup de problemes.. Car on aurait 49 + 8 éléments... :s

Aidez moi svp, je n'avnce pas et le temps passe vite !

Bonjour, j'ai le même exercice  en L3.
voici mon sujet :
L'objectif de cet exercice est de montrer qu'un groupe G d'ordre 56 = 2^3* 7 n'est pas simple. Le raisonnement est par l'absurde, soit G un groupe simple d'ordre 56.

1)Montrer que le nombre de 7-Sylows est 8 (ok), et que leur intersection deux à deux est {1}. (ok)
En déduire que G contient 48 éléments d'ordre 7.(plus ou moins)

2)Montrer que le nombre de 2-Sylow est 7.(ok)
Du coup qu'il existe au moins 8 éléments non triviaux dont l'ordre divise 2^3.(PROBLEME)
Ainsi en comptant le neutre, G a au moins 57 éléments. Donc 57<56.

La question 1 ne me pose globalement pas de problème en dehors du fait que je ne sais pas expliqué d'où vient le 6 pour 6*8=48 éléments d'odre 7.

Par contre je ne vois pas du tout comment faire la deuxième partie de la question 2.

En espérant que vous pourrez m'aider; et merci d'avance pour le temps que vous avez accordé à mon message.

Bonne Soirée

si un ensemble est un groupe à 7 éléments alors il en a 6 qui ne sont pas le neutre ...

BONSOIR A TOUS MES COLLEGUE
bonsoir laura07130
je te réponde à ton question inchaallah
G d'odre 56=2³*7, on trouve n₇=1ou n₇=8 et  n₂=1 ou n₂=7
on suppose que n₇=1 G n'est pas simple (car d'après la 2^éme théorème du sylow tout les 7-slow sont conjugué ce implique que pour tout  a élément de G et  H,K appartenant à syl₇(G) H=aKa^-1,mais il ya un seul 7-sylow ce qui implique que H=K c'est à dire que H=aHa^-1 donc H est distingué dans G ce qui contre dit avec la simplicité de G.
meme raisonnement avec n₂=1
on suppose que n₇=8 et n₂=7
il est claire que G contient 8(7-1)=48 élément d'ordre 7.
mais je pense que votre problème se pose en n₂=7,ne t'équiète pas on est la réponse bien éxpliquer
on suppose que H₁ ,H₂ appartent à syl₂(G), on saitH₁H₂ H₁ (car l'inersection de 2-groupe est un groupe ) donc |H₁H₂|4 |H₁H₂|12 .donc finalement l'ordre de |G|12+48=60 ce qui est imposible donc G n'est simple. c'est fini.
merci cordialement