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Niveau Licence Maths 1e ann
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groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p

Posté par
alazar
28-10-11 à 12:39

Bonjour,
alors voici ma question :
Soit G un p-groupe fini (disons d'ordre p^n)
Je veux montrer que si tout les éléments de G sont d'ordre p alors G est abéliens et isomorphe à  (Z/pZ)^n. Mais j'avoue que je bloque ...
J'arrive à montrer le cas n=2, mais pas pour n=3 et encore moins les suivants.

Pour n=2, je regarde le centre de G (qui est non trivial), s'il est d'ordre p^2 pas de problème, si il est d'ordre p, je quotients G par Z(G) et j'obtiens un quotient cyclique donc G est abélien.

Mais la preuve ne marche plus pour n=3 :/

Si quelqu'un pouvait m'aider merci d'avance

Posté par
lolo271
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 28-10-11 à 13:06

Bonjour,

G/Z(G)  vérifie encore que tous les éléments sont d'ordre  p  non ?  Je n'ai pas vérifié mais une récurrence sur n semble possible.

Posté par
alazar
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 28-10-11 à 14:28

effectivement, ça me semble être une très bonne piste, je n'y avais pas pensé.
Après y avoir réfléchi, ça marche =)

Merci beaucoup !!

Posté par
lolo271
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 28-10-11 à 14:47

de rien, bravo.

Posté par
alazar
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 28-10-11 à 16:24

en fait, j'ai encore un peu de mal avec la suite ^^

déjà, une question me turlupine : si j'ai G/H isomorphe à K, est ce que je peut dire que G est isomorphe au produit HxK ? (ça me semble faux ... mais je n'en suis pas sur)

Ensuite, j'ai montrer que G/Z(G) est un groupe dont tous les éléments sont d'ordre p donc, c'est un (Z/pZ)^a ( on suppose Z(G) différent de G)
et là, à part si a=1, je ne sais pas comment conclure ...

Posté par
lolo271
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 28-10-11 à 22:35

Oui en général c'est faux mais ici  Z(G) est le centre donc là ça va marcher.

Bien  comme  Z(G) est non trivial , G/Z(G) est de cardinal  pk   k < n , donc par hypothèse de récurrence c'est ce que tu dis.
Mais tu appliques aussi l'hypothèse de récurrence à  Z(G).

Le seul cas qui reste c'est  G = Z(G)  mais là  G  est commutatif donc tu peux requotienter si tu veux .

Posté par
alazar
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 29-10-11 à 12:39

j'applique l'hypothèse à G/Z et à Z, j'en déduit que G/Z est isomorphe à (Z/pZ)^a et que Z est isomorphe à (Z/pZ)^(n-a)

et après, je montre que G est isomorphe à Zx(G/Z) et finalement G est commutatif.

Ce qui me chiffonne c'est le fait que G isomorphe à Zx(G/Z) car même si Z est le centre, ce n'est pas toujours vrai ?

merci pour tes réponses

Posté par
alazar
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 29-10-11 à 13:09

j'ai trouvé un contre exemple : H8 le groupe des quaternions est d'ordre 8=2^3 et sont centre est {+1;-1}. Mais H8 n'est pas isomorphe à Zx(G/Z)

Posté par
lolo271
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 29-10-11 à 23:18

oui tu as raison, désolé, ça doit être vrai dans le cas commutatif ? (j'avais construit un morphisme qui n'en était pas un).

Peut -être essayer de voir d'abord que ton groupe est commutatif ?

Posté par
lolo271
re : groupe d'ordre p^n dont tous les éléments sont d'ordre p 29-10-11 à 23:26

Bon alors à coup de Massue :  d'après le théorème de Sylow (complet)  il existe dans ton groupe un sous-groupe de cardinal  pn-1  comme il est d'indice  p  premier
il est forcément distingué et là  tu conclues.

Bon je ne sais pas si on peut faire sans Sylow.



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