Bonjour,
des abéliens c'est facile de faire la liste, en passant U(Z/7Z) n'est il pas isomorphe à Z6?

En ce qui concerne les non abéliens alors tu peux regarder ce qui se passe avec un groupe qui aurait des éléments d'ordre 2 et 3 et compter combien il y en a et/ou faire un raisonnement en regardant les relations et générateurs de ton groupe.

Bonjour Julie,

Je n'ai jamais été jusqu'à 6 mais en sup mon prof nous avait fait lister tous les groupes de cardinal inférieur ou égal à 5. En gros ça revenait un peu à un sudoku. Un groupe fini est déterminé par sa grille d'opération, c'est à dire, si je considère un groupe {e,x,y,z,u,v} de cardinal 6, il faut trouver toutes les façons possibles de remplir la grille suivante :



Je n'ai rempli qu'une ligne et une colonne, tu comprends comment ça marche. Et donc ça ressemble à un sudoku puisque c'est un groupe, donc sur chaque ligne apparait une et une seule fois chaque élément du groupe, idem sur chaque colonne. Puisque si par exemple x apparait deux fois sur la ligne du y, mettons y*y=x=y*z, comme on est dans un groupe, on simplifie => y=z. Or on a bien sûr supposé les éléments distincts. La première ligne et première colonne sont simples à remplir, e étant l'élément neutre. Ensuite tu as x*x, tu supposes d'abord que ca vaut e par exemple, tu vois comment tu peux continuer, avec d'autres hypothèses, puis tu reviens en prenant x*x=x etc, et au final tu vois combien tu peux faire de grilles différentes. Le tout est de ne pas oublier de revenir essayer les autres possibilités quand tu as fait une hypothèse. (c'est un peu comme un programme récursif).
Avec ça tu ne devrais oublier aucun groupe de cardinal 6, mais je pense que tu les a tous. (pas sûr de moi du tout)

Bon courage

Bonsoir

Es-tu sûr que Z/6Z et Z/2Z x Z/3Z sont isomorphes?

Jeanseb c'est le théorème des restes chinois, non ?

Sans doute...Je ne l'ai jamais vraiment assimilé, celui-là...Honte!

Pour faire simple, dans un cas particulier à 2 éléments p et q copremiers ça dit que Z/(pq)Z est isomorphe à (Z/pZ)x(Z/qZ). Ça se généralise à beaucoup plus d'anneaux mais ici on n'a besoin seulement de ce résultat.

C'est quand p et q ne sont pas copremiers qu'il faut faire attention, comme par exemple p=q avec l'exemple classique de p=q=2.

Merci. Là, ça me revient...

salut

j'ai eu un DM à ce sujet, où les questions conduisait à la démonstration du fait qu'il y en a que deux.
si tu veux je peux te scanner sujet et correction et t'envoyer tout par mail

Merci otto et noflah je vais essayer vos techniques. Hedgefunder, merci, je ne veux pas te déranger pour rien donc je vais retravailler dessus et si vraiment je n'y arrive pas je ferai appel à ton scanner!
Merci à tout le monde!

Si tu n'y arrives pas on sera là pour t'aider de toute façon...