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Groupe de Klein

Posté par
AnneDu60
10-11-19 à 12:58

Bonjour à vous !

Dans un exemple il est écrit que {1] est distingué dans C2 x C2 qui lui même est distingué dans A4 qui est distingué dans S4.
C2 x C2 est le groupe de Klein et A4 le groupe alterné de S4.
Groupe de Klein c'est bien /2 /2 donc ici on parle bien du sous groupe engendré par (1  2) et (3  4) ?
Ce groupe est égal à  {1, (1  2), (3  4), (1  2)(3  4)} isomorphe au groupe de Klein. Mais il n'est pas inclus dans A4 parceque (1  2) admet -1 comme une signature .. Je ne comprend pas ..

Posté par
Jezebeth
re : Groupe de Klein 10-11-19 à 13:03

Bonjour

C'est quoi C_2 ? \mathbb{F}_2 ?

AnneDu60 @ 10-11-2019 à 12:58

Groupe de Klein c'est bien /2 /2 donc ici on parle bien du sous groupe engendré par (1  2) et (3  4) ?


Sens de ceci ? On raisonne probablement à homomorphisme près par ailleurs, parce qu'entre des classes de congruence et des permutations… En tout cas je ne comprends rien de ce que vous dites.

Posté par
AnneDu60
re : Groupe de Klein 10-11-19 à 14:30

Oui C2=/2.
C2C2 <(1  2);(3  4)>
Mais on peut pas dire que ce groupe est distingué dans A4 ..
Voilà mon problème ..

Posté par
Jezebeth
re : Groupe de Klein 10-11-19 à 15:40

Donc vous voulez montrer que C_2 est isomorphe à un sous-groupe normal de A_4, c'est ça ? Comment établissez-vous l'isomorphisme du message précédent ?

Posté par
AnneDu60
re : Groupe de Klein 10-11-19 à 16:27

Non, dans mon cours il était écrit que C2xC2 est distingué dans A4. De mon point de vue, il parlait du sous groupe engendré par les transpositions (1  2) et (3  4).
Pour montrer que <(1  2),(3  4)> est isomorphe au groupe de Klein j'ai construis l'isomorphisme à la main.

f: C2 x C2 <(1  2),(3  4)>
avec (0,0)  Id
(1,0) (1 2)
(0,1) (3  4)
(1,1) (1  2)(3  4).

Par construction c'est surjectif, l'ensemble de départ et d'arrivée ont le même cardinal, c'est donc bijectif. Et j'ai vérifié que c'était un morphisme de groupes à la main ..

Dans l'hypothèse où je me suis pas trompée, je ne comprend pas pourquoi il est écrit que C2 x C2 est distingué dans A4 car pour moi il n'est même pas inclus dedans ..

Posté par
Jezebeth
re : Groupe de Klein 10-11-19 à 16:50

O.K. (il y a bien plus simple : montrer qu'il n'y a pas d'élément d'ordre 4 suffit, ce qui est immédiat).

La signature d'une transposition étant -1, l'affirmation est en effet fausse, aucun doute là-dessus. Comme vous le dites, pour être distingué, il faut déjà être un sous-groupe !... or ici ce n'est clairement pas une partie de A_4. Donc c'est forcément une erreur de la source.

Posté par
Jezebeth
re : Groupe de Klein 10-11-19 à 16:56

En revanche le groupe de Klein est isomorphe à D_4 (groupe diédral) qui est distingué !

Posté par
Jezebeth
re : Groupe de Klein 10-11-19 à 16:57

Il faut donc entendre par "le groupe de Klein est distingué dans A_4", bien sûr : "le groupe de Klein est isomorphe à un sous-groupe distingué de A_4".



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