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Niveau Maths sup
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groupe de Lie SO(3) et algebre de Lie so(3)

Posté par
mqbaka2
18-06-14 à 09:25

Il ya vraiment quelque que je ne comprends pas sur les matrices de so(3).
J'ai vu une définition qui dit que:
so(3) = {A Gl3() , A + TA = 0} C.a.d. une matrice Antisymétrique.
Mais une  matrice antiSymétrique  doit avoir 0 sur les diagonales et serait de la forme :
<BR>\begin{pmatrix}
 \\ <BR> 0&b&c\\
 \\ <BR> -b&0&d\\
 \\ <BR> -c&-d&0\\
 \\ <BR> \end{pmatrix}
 \\ <BR>
 \\ qui donnerait un determinant de 0 contredisant le fait que c'est dans Gl3
J'ai aussi vu que
<BR>\begin{pmatrix}
 \\ <BR> 0&1&0\\
 \\ <BR> -1&0&0\\
 \\ <BR> 0&0&0\\
 \\ <BR> \end{pmatrix}
 \\ <BR>
 \\ , <BR>\begin{pmatrix}
 \\ <BR> 0&0&1\\
 \\ <BR> 0&0&0\\
 \\ <BR> -1&0&0\\
 \\ <BR> \end{pmatrix}
 \\ <BR>
 \\ et <BR>\begin{pmatrix}
 \\ <BR> 0&0&0\\
 \\ <BR> 0&0&1\\
 \\ <BR> 0&-1&0\\
 \\ <BR> \end{pmatrix}
 \\ <BR>
 \\ forment une base de l'algebre de Lie de SO(3), mais est-ce possible d'après tout ce que je viens de dire?
Puisque SO(3) = Sl3 O(3) cela induit une contradiction.
Quelqu'un peut-il m'eclaircir, je suis vraiment perdu de chez perdu...

Posté par
Narhm
re : groupe de Lie SO(3) et algebre de Lie so(3) 18-06-14 à 09:36

Bonjour,

Ta définition de \mathfrak{so}(3) n'est pas correcte et de toute façon une matrice antisymétrique complexe de dimension impaire est toujours non inversible.

Je ne sais pas comment elle t'a été introduite mais, il s'agit de \mathfrak{so}(3)=\left\{M\in \mathcal M_3(\R) | M+{}^tM=0\right\}
Donc oui, la famille que tu proposes est une base de (l'espace vectoriel) \mathfrak{so}(3).

Et il ne faut pas confondre l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie avec le groupe de Lie lui-même.

Posté par
mqbaka2
re : groupe de Lie SO(3) et algebre de Lie so(3) 24-06-14 à 08:58

Donc les éléments de so(3) sont non inversibles???
Et poutrtant les matrices de rotations sont dans so(3) à ce qu'il parraît, mais les rotations sont inversibles...
par ailleurs,
<BR>\begin{pmatrix} \\ <BR> 1&0&0\\ \\ <BR> 0&cos a&sin a\\ \\ <BR> 0&-sin a&cos a\\ \\ <BR> \end{pmatrix} \\ <BR> \\ est une matrice de rotation mais elle ne s'obtient pas à partir de ces 3 matrices. Cette matrice n'est-elle donc pas dans so(3)?

Posté par
DOMOREA
groupe de Lie SO(3) et algebre de Lie so(3) 24-06-14 à 09:09

bonjour,
les  éléments de SO(3,\mathbb{R}) sont de déteminant 1 il me semble ?!

Posté par
Narhm
re : groupe de Lie SO(3) et algebre de Lie so(3) 24-06-14 à 09:27

Attention, comme je l'ai dit :

Citation :
Et il ne faut pas confondre l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie avec le groupe de Lie lui-même.


Donc oui dans le groupe de Lie SO(3,\R)=\{M\in \mathcal M_n(\R) | \det(M)=1\}, toute matrice est par définition inversible et cet ensemble contient les rotations.

Ensuite, dans l'algèbre de Lie \mathfrak{so}_3(\R) de SO(3,\R), aucune matrice n'est inversible puisque cet ensemble est constitué de matrices antisymétriques.



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