Bonjour,
Je m'intéresse actuellement au groupe dérivé [G,G] qui est l'ensemble des commutateurs d'un groupe G. Je veux montrer que c'est un sous-groupe de G. L'élément neutre y appartient clairement. C'est la stabilité multiplicative qui me pose problème :
Soient , on souhaite montrer que aussi.
Mais je n'arrive pas exprimer ce produit sous la forme , j'ai pris plusieurs éléments pour a et b mais je n'obtiens jamais une forme correcte... D'ailleurs j'ai remarqué qu'il est souvent admis que le groupe dérivé est un sous groupe de G sans jamais donner de preuve. La forme de a et b que je cherche est-elle compliquée à trouver ?
Bonjour
Problème de définition.
Le groupe dérivé est le sous-groupe engendré par les commutateurs, qui, justement, ne forment pas une partie stable par multiplication.
J'avais mal compris. Le groupe dérivé est en réalité le sous-groupe engendré par les commutateurs. L'ensemble des commutateurs n'est en réalité pas stable par la loi de groupe ce qui explique pourquoi je n'y arrivais pas.
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