Bonjour,
Autrement dit que [xy]=[yx] ... vois-tu pointer un rapport avec le commutateur de x et y ?

Ca ne répond pas strictement parlant à la question (quoi que...), mais quand tu as un ensemble E et une relation d'équivalence ~, la raison même pour laquelle on effectue le quotient E/~ est de pouvoir identifier les éléments d'une même classe entre eux.

Par exemple quand tu quotientes G par ker(f) avec f un morphisme, tu es en train de fabriquer un morphisme automatiquement injectif entre G/ker(f) et Im(f) parce que même s'il existe un élément non nul dans ker(f) il sera de toute façon identifié.

Donc quand tu quotientes par D, tu es en train d'imposer aux produits finis de commutateurs qui ne sont pas forcément nuls dans G, de l'être dans le groupe quotient...

Maintenant il faut le prouver et je te laisse aux bons soins de GBZM, que je salue par ailleurs

Bonjour,

Peut être en  raisonnant par équivalents successifs et en utilisant le fait que :

[a]=[b] ab^-1D    C'est une relation que je ne comprends pas bien, est il possible d'avoir plus de détails à ce sujet ?

[xy]=[yx] ab(ba)^-1Daba^-1b^-1D Ce qui est vrai par définition, donc on a bien [x][y]=[y][x]

Erratum : j'ai remplacé les x et y par a et b

Tout simplement ...

Je reviens vers vous car la question 3) me perturbe réellement :

On garde les mêmes notations : Soit G un groupe. On note D le sous groupe de G engendré par l'ensemble des commutateurs.

3) Soit H un sous-groupe de G. Montrer que DH si et seulement si H est distingué dans G et G/H abélien.

Voila ce que j'ai fait :

Première Implication:

Supposons DH.
Montrons que H est distingué dans G.

Soit gG et hH,
alors ghg^-1=ghg^-1h^-1h=(ghg^-1h^-1)h

or (ghg^-1h^-1)DH donc (ghg^-1h^-1)H et hH

Alors par produits d'éléments de H,  ghg^-1H : on a bien H distingué dans G.

Montrons maintenant que G/H est abélien : Comme pour la question 2 on raisonne par équivalents successifs :

[x][y]=[y][x][xy]=[yx]xyx^-1y^-1H ce qui est vrai car xyx^-1y^-1DH
Donc la première implication est vérifiée.

Deuxième Implication:

Supposons maintenant H est distingué dans G et G/H abélien.

Montrons que DH :
[x][y]=[y][x][xy]=[yx]xyx^-1y^-1H, or xyx^-1y^-1D, donc on a DH

Ce qui montre l'implication réciproque.
J'ai un doute car j'ai l'impression de faire à chaque fois la même démonstration.

C'est parce que c'est assez mal rédigé que tu as l'impresion de faire la même démonstration. Fais des phrases plutôt que d'aligner des équivalences sans quantifier. C'est particulièrement vrai pour la deuxième implication. Essaie de la reprendre.

Je reprends ça,
Merci pour votre correction !