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Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G

Posté par
youpala 13-12-10 à 11:59

Bonjour,
J'ai un exercice que je n'arrive pas à faire serait-il possible d'avoir un peu d'aide, s'il vous plait?
Soit (G,.) groupe non commutatif et G' groupe dérivé de G (groupe engendré par l'ensemble de ses commutateurs c={xyx^-1y^-1; x,yG)
Montrer que G' sous-groupe distingué de G.

je prend aG et hG' et je veux montrer que aha^-1G'
mais ensuite je ne sais pas comment faire avec axyx^-1y^-1a^-1 pour montrer que ca appartient à G

En vous remerciant par avance...

Posté par
Narhmre : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 13-12-10 à 12:36

Bonjour,

Tu peux remarquer que 3$ \rm axyx^{-1}y^{-1}a^{-1}=axa^{-1}aya^{-1}ax^{-1}a^{-1}ay^{-1}a^{-1}

Posté par
youpalare : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 13-12-10 à 15:00

ah oui c'est vrai!merci!
et on a aussi (axa^-1)^-1 = ax^-1a^-1
ce qui permet de conclure, c'est ca?

Posté par
Narhmre : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 13-12-10 à 15:22

C'est bien ca !

Posté par
jimijimsre : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 04-10-15 à 20:44

Bonsoir,

Je me permets de faire remonter le topic car je ne comprends pas la preuve précédemment faite...
Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer svp ?

Merci d'avance

Posté par
ThierryPomare : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 04-10-15 à 21:11

Bonsoir,

Désignons par e le neutre de (G,\,.). La preuve de Narhm fait intervenir le fait que la loi interne sur G est associative et le fait que a.a^{.-1}=a^{.-1}.a=e. Vois-tu ?

Bonne nuit !

Posté par
jimijimsre : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 04-10-15 à 21:52

Merci de ta réponse

En fait je ne vois pas ce à quoi doit être égale axyx^{-1}y^{-1}a^{-1} à l'arrivée...
Je sais juste que D(G) est distingué dans G si \forall h \in D(G), \forall a \in G, aha^{-1} \in D(G) , donc ici on posant h = xyx^{-1}y^{-1} on doit faire le calcul aha^{-1} mais je ne vois pas à quoi il doit être égal, ni pourquoi on ajoute des inverses...

Posté par
ThierryPomare : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 04-10-15 à 22:08

Mais enfin, ne vois tu pas que

a.x.a^{.-1}.a.y.a^{.-1}.a.x^{.-1}.a^{.-1}.a.y^{.-1}.a^{.-1}=a.x.a^{.-1}.a.y.a^{.-1}.\left(a.x.a^{.-1}\right)^{.-1}.\left(a.y.a^{.-1}\right)^{.-1}

avec a.x.a^{.-1}, a.y.a^{.-1}\in G, d'où (...)

Là, je vais me coucher !

Posté par
jimijimsre : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 05-10-15 à 10:22

ThierryPoma @ 04-10-2015 à 22:08

Mais enfin, ne vois tu pas que

a.x.a^{.-1}.a.y.a^{.-1}.a.x^{.-1}.a^{.-1}.a.y^{.-1}.a^{.-1}=a.x.a^{.-1}.a.y.a^{.-1}.\left(a.x.a^{.-1}\right)^{.-1}.\left(a.y.a^{.-1}\right)^{.-1}

avec a.x.a^{.-1}, a.y.a^{.-1}\in G, d'où (...)

Là, je vais me coucher !

Non je ne le vois pas... Si je pose justement la question c'est que ce n'est pas évident pour moi... sinon je me serais contenté de lire le poste suivant sans le comprendre :
youpala @ 13-12-2010 à 15:00

et on a aussi (axa^{-1})^{-1} = ax^{-1}a^{-1}


Donc ax^{-1}a^{-1} = (axa^{-1})^{-1} car f(x^{-1}) = (f(x))^{-1} ? Ou alors je suis carrément à côté de la plaque ?
Comment sais-tu que axa^{-1}, aya^{-1} \in G ?
Désolé de passer pour un débile mais je ne comprends rien...

youpala @ 13-12-2010 à 11:59

je prend a \in G et h \in D(G) et je veux montrer que aha^{-1} \in D(G).
mais ensuite je ne sais pas comment faire avec axyx^{-1}y^{-1}a^{-1} pour montrer que ca appartient à G

Je ne comprends pas ce qu'il faut montrer ; aha^{-1} \in D(G) ou ayx^{-1}y^{-1}a^{-1} \in G ?

Posté par
jimijimsre : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 05-10-15 à 10:55

@jimijims

jimijims @ 05-10-2015 à 10:22


Comment sais-tu que axa^{-1}, aya^{-1} \in G ?

Je n'ai rien dit pour ça Je viens de comprendre

Posté par
ThierryPomare : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 05-10-15 à 16:43

De mon travail :

Posons

u_x=a.x.a^{.-1} et u_y=a.y.a^{.-1}

Alors,

a.x.a^{.-1}.a.y.a^{.-1}.a.x^{.-1}.a^{.-1}.a.y^{.-1}.a^{.-1}=a.x.a^{.-1}.a.y.a^{.-1}.\left(a.x.a^{.-1}\right)^{.-1}.\left(a.y.a^{.-1}\right)^{.-1}=u_x.u_y.u_x^{.-1}.u_y^{.-1}

Or,

C=\left\{\left.x.y.x^{.-1}.y^{.-1}\right|x,\,y\in{G}\right\}

Partant, l'on obtient que (...) Je pense que tu vois là, non ?

Bonne soirée,

Thierry

Posté par
jimijimsre : Groupe dérivé G' sous-groupe distingué de G 06-10-15 à 20:38

Je vois mieux maintenant oui
Comme u_x.u_y.u_x^{-1}.u_y^{-1} \in C, G' est un sous-groupe distingué de G.

Merci d'avoir pris du temps pour moi

Bonne soirée


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