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Groupe des périodes d'une fonction continue
Bonjour,
Je bloque sur un exercice de topologie : Soit ∏f= {ensemble des périodes de f}.
a) Montrer que si f est continue, alors ∏f est un fermé de R
- J'ai utilisé la caractérisation séquentielle des fermés avec une suite de période qui tend vers T et je voudrais montrer que T est une période de f en utilisant le fait que f est continue, mais je n'arrive pas à conclure proprement.
b ) Ensuite je dois montrer que la a) n'est pas vraie si f n'est pas continue avec l'exemple de la fonction indicatrice de Q dans R.
- Je n'ai pas vraiment d'idées pour démarrer surtout avec cet exemple là
c) Pour finir je dois montrer que si f est une fonction continue périodique sur R alors f admet une plus petite période strictement positive, en me servant du fait qu'un sous groupe de (R,+) est de la forme aZ ou dense. (j'ai déjà montré que ∏f est un sous groupe de (R,+)
- Même chose, je suis coincée pour le démarrage.
Pourriez vous m'aider ?
Merci par avance
Bonjour,
Quelle difficulté rencontres-tu pour conclure dans la première question ?
Pour la deuxième, la fonction caractéristique d'une partie
de
est définie par
si
,
sinon. Donc
est une période pour
si et seulement si, pour tout
,
.
Bonjour,
Je peux t'aider pour b) ; mais pour a) et c), je ne suis plus assez dans le bain.
Pour b), cherche les périodes de la fonction.
Indice :
Si x est un réel et q un rationnel, x+q sera rationnel ou pas à certaines conditions sur x.
Tout d'abord merci pour vos réponses rapides,
Pour la a), j'ai Tn tend vers T et f(Tn) tend vers f(T). Donc f(x+Tn) tend f(x+T) d'où |f(x)-f(x+Tn)| tend vers 0.
En faite je suis vraiment pas sure de ce que j'écris à partir du "donc", et en admettant que ce soit juste, j'obtiens des limites et non "f(x+Tn)=f(x)", y'a probablement quelque chose qui m'échappe.
Merci pour vos indications pour la b) je vais essayer de faire ça !
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