Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

groupe distingué indice 2

Posté par
wuksey
02-05-18 à 08:52

Bonjour,

Je cherche à montrer que tout sous-groupe d'indice 2 est distingué.

En effet, si H est un sous-groupe d'indice 2 de G. Soit a ∈ G. Si a ∈ H, on a Ha = H = aH.
Si a H, alors H étant d'indice 2, la partition de G en classes à gauches (resp. à droite) est
G = H ∪ aH (resp. G = h ∪ Ha). On a donc Ha = H\G = aH. Donc, H est distingué dans G

J'ai compris l'idée, mais pas la conclusion : " Ha = G\H = aH".   G\H = H/G ??

Merci pour votre aide.

Posté par
wuksey
re : groupe distingué indice 2 02-05-18 à 09:13

J'ai fait une erreur à la fin : On a donc Ha = H\G = aH. Je voulais écrire :  Ha = G\H = aH

Posté par
etniopal
re : groupe distingué indice 2 02-05-18 à 10:21

   {H , aH} et {H , Ha} sont 2 partitions de G   .

Posté par
wuksey
re : groupe distingué indice 2 02-05-18 à 10:53

Je veux être sûr d'avoir bien compris la définition d'un indice :

Dans notre exemple, [G : H] = 2, cela signifie que lorsque l'on multiplie à gauche par les éléments de G les éléments de H, on obtiendra 2 résultats distincts : ici cela sera H et aH c'est ça ?

Comme la définition de l'indice est restreint à la multiplication à gauche, que peut-on dire de la multiplication à droite ? (c'est là que je bloque un peu)

Posté par
etniopal
re : groupe distingué indice 2 02-05-18 à 14:28

  Pour te débloquer ( à droite )
Dire que  [G : H] = 2 c'est dire que le nombre se classes à gauche modulo H ( qui est égal au nombre se classes à droite modulo H) vaut 2 .
Pour tout a   G \ H   ,  { H , aH} et {H , Ha} sont  donc  2 partitions de G de sorte que aH = G \ H  et Ha = G \ H  ce qui entraine que  H est un sous-groupe normal  ( ou sous-groupe distingué  ou sous-groupe invariant  ; jargon  utilisé selon les goûts )

Pour démontrer le bleu : utilise  la bijection  f : x x-1



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !