Bonjour,
Je cherche à montrer que tout sous-groupe d'indice 2 est distingué.
En effet, si H est un sous-groupe d'indice 2 de G. Soit a ∈ G. Si a ∈ H, on a Ha = H = aH.
Si a H, alors H étant d'indice 2, la partition de G en classes à gauches (resp. à droite) est
G = H ∪ aH (resp. G = h ∪ Ha). On a donc Ha = H\G = aH. Donc, H est distingué dans G
J'ai compris l'idée, mais pas la conclusion : " Ha = G\H = aH". G\H = H/G ??
Merci pour votre aide.
Je veux être sûr d'avoir bien compris la définition d'un indice :
Dans notre exemple, [G : H] = 2, cela signifie que lorsque l'on multiplie à gauche par les éléments de G les éléments de H, on obtiendra 2 résultats distincts : ici cela sera H et aH c'est ça ?
Comme la définition de l'indice est restreint à la multiplication à gauche, que peut-on dire de la multiplication à droite ? (c'est là que je bloque un peu)
Pour te débloquer ( à droite )
Dire que [G : H] = 2 c'est dire que le nombre se classes à gauche modulo H ( qui est égal au nombre se classes à droite modulo H) vaut 2 .
Pour tout a G \ H , { H , aH} et {H , Ha} sont donc 2 partitions de G de sorte que aH = G \ H et Ha = G \ H ce qui entraine que H est un sous-groupe normal ( ou sous-groupe distingué ou sous-groupe invariant ; jargon utilisé selon les goûts )
Pour démontrer le bleu : utilise la bijection f : x x-1
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