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Groupe(Encore correction)
Bonjour à tous j'aurais besoin de la correction de cet exercice s'il vous plait afin que je le retravail aprés...je demande rarement la correction brute comme ça mais la j'en ai vraiment besoin pour réviser.
Merci de votre compréhension et voila l'exo:
Z²=Z x Z muni de la loi .
(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') pour tout x,x',y,y' dans Z est un groupe.Notons p1(resp p2) la projection canonique de Z² sur Z définie par:
p1(x,y)=x et p2(x,y)=y.
G un ss-groupe de Z².
1)Montrer qu'il existe un unique entier b dans p2(G) tel que tout élément de p2(G) soit un multiple de b.
2)Soit(a,b) un élément de G dont la seconde projection est b.
a)Montrer que tout élément (x,y) de G s'écrit de façon unique (x,y)=q(a,b)+(r,0) ou q et r sont dans Z.Vérifier que l'application
f:G->Z
(x,y)->r est un morphisme de groupe,quel est son noyau?
b)En déduire l'existence de deux éléments g1 et g2 de G telque G=g1Z+g2Z
4)Quelle est la forme générale des sous groupe de Z²?
5)Peut-on généraliser cette méthode dans le cas des sous-groupes de Z^n n>0
Merci d'avance de vos réponses,et encore désolé de demander comme ça la correction d'un exercice.
Salut,
l'application G--->Z qui à (x,y) associe sa projection p2 est un morphisme de groupes donc son image est un sous-groupe de Z donc de la forme bZ.
Pour la 2)a),y est un multiple de b donc il existe un unique q tel que y=qb.
Ensuite on pose r tel que r=x-qa qui est donc dans p1(G)(car p1(G) est un groupe) et donc (r,0) est dans G et je vais manger 
On a donc directement l'unicité,pour voir que c'est un morphisme,
(x,y) et (x',y') alors (x,y)=q(a,b)+(r,0) et (x',y')=q'(a,b)+(r',0) donc:
f((x,y)+(x',y'))=f((x+x',y+y'))=r+r'=f(x,y)+f(x',y').
ok Cauchy,le noyau: ker f={(x,y)/f(x,y)=0}={r dans Z/ r=0}={0}
il faut en deduire l'existence de g1 et g2...?!
Non c'est pas ca le noyau c'est un sous-groupe de G,c'est pas dans Z.
C'est l'ensemble des (x,y) tels que f(x,y)=0 cad r=0 dans la décomposition unique sous la forme (x,y)=q(a,b)+(r,0)
non je sais pas,ker f est un sous groupe de G non?
Non mais je sais pas c'était de la plus pure intuition
Ker f oui c'est un sous-groupe de G et ici f(x,y)=0 ssi q(a,b)+(r,0)=q(a,b)=(x,y) donc c'est l'ensemble des q(a,b) avec q dans Z qui est bien un sous-groupe distingué de G.
Ensuite par le premier théorème d'isomorphisme G/Ker f est isomorphe à Im f.
oui! je suis d'accord mais justement je comprend pas la suite,l'utilisaton de ce theoreme me gene,je sais pas à quoi il me sert pour répondre aux questions...
On sait que tout élément de G se met sous la forme q(a,b)+(r,0).
En gros si Ker f=G alors G=(a,b)Z et Im f={0}
Sinon il existe un n non nul tel que Im(f)=nZ et alors pour tout élément de G on a f((x,y))=kn donc tout élément de G s'écrit sous la forme q(a,b)+k(n,0) donc G est isomorphe à (a,b)Z+(n,0)Z.
En fait ca revient au même de dire que G/Ker f est isomorphe à Im f que de dire que G=Ker f (+) Im (f).
ok Cauchy,voila quelque chose de trés trés interressant,..si ça tombe demain à mon ds ce truc,je m'en frotte déja les mains
Donc finalement les sous-groupes de Z² ils sont de la forme g1Z+g2Z.
En fait faut faire un dessin,tu prends le plan tu mets des points aux coordonnées entières et tu regardes ce que tu peux avoir.
Par exemple (1,1)Z c'est les points à coordonnées entières sur la droite y=x.
merci Cauchy,pour demain,je n'espere rien lol,je sais que ce sera dur mais on verra bien...j'aurais appris quelques bons trucs sur l'ile avec toi Kaiser et rodrigo pour mon ds que je n'ai pas vu avec mon prof donc quoiqu'il advienne,j'ai appris quelques trucs
Bonne fin de soirée Cauchy,je vais pieuter tot pour demain
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