Inscription / Connexion Nouveau Sujet
groupe fini : commutativité
Bonjour à tous,
Voici l'énoncé:
Soit G un groupe possédant 4 éléments.
Montrer que G est commutatif.
Puis-je répondre comme cela ?
G est un groupe fini à 4 éléments donc je distingue deux cas:
- Soit G possède un élément d'ordre 4 et dans ce cas là, il est isomorphe à Z/4Z et Z/4Z est commutatif donc G aussi.
- Soit G possède des éléments d'ordre 2 donc il est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z qui est aussi commutatif donc G l'est aussi.
Finalement, G est bien commutatif.
Est-ce bien correct ? Je ne suis pas sur du tout!
Bonjour
Oui, bien sur, c'est correct. Mais ça suppose que tu connais les groupes d'ordre 4; je ne pense pas que ce soit l'esprit de exo.
Pose , suppose que
et regarde pourquoi c'est impossible!
Bonjour Camélia ! Content de te relire !
Si et que
alors
ou
ou
ou
.
Si alors en composant par
à gauche on a
donc
c'est impossible sinon, il n'y aurait pas 4 éléments.
Idem pour .
Si alors
donc
et ça commute donc G est commutatif.
Si alors
et d'après ce qu'on a vu avant alors forcément
donc
d'où et donc G est commutatif ?
On est bon ?
C'est l'idée.
Pour le dernier raisonnement, je trouve la rédaction un peu confuse.
On est parti avec l'hypothèse . Si
, comme
, on a
, et on a vu que c'est impossible.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac