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Niveau Maths sup
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groupe fini : commutativité

Posté par
robby3
19-05-24 à 15:25

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé:

Citation :
Soit G un groupe possédant 4 éléments.
Montrer que G est commutatif.


Puis-je répondre comme cela ?

G est un groupe fini à 4 éléments donc je distingue deux cas:
- Soit G possède un élément d'ordre 4 et dans ce cas là, il est isomorphe à Z/4Z et Z/4Z est commutatif donc G aussi.
- Soit G possède des éléments d'ordre 2 donc il est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z qui est aussi commutatif donc G l'est aussi.
Finalement, G est bien commutatif.

Est-ce bien correct ? Je ne suis pas sur du tout!

Posté par
Camélia Correcteur
re : groupe fini : commutativité 19-05-24 à 15:39

Bonjour

Oui, bien sur, c'est correct. Mais ça suppose que tu connais les groupes d'ordre 4; je ne pense pas que ce soit l'esprit de exo.
Pose G=\{e,a,b,c\}, suppose que ab\neq ba et regarde pourquoi c'est impossible!

Posté par
Camélia Correcteur
re : groupe fini : commutativité 19-05-24 à 15:40

... et bon retour sur

Posté par
robby3
re : groupe fini : commutativité 19-05-24 à 20:40

Bonjour Camélia ! Content de te relire !

Si G=\{e,a,b,c\} et que ab\neq ba alors ab=e ou ab=c ou ab=a ou ab=b.

Si ab=a alors en composant par a^{-1} à gauche on a a^{-1}ab=aa^{-1}=e donc b=e c'est impossible sinon, il n'y aurait pas 4 éléments.
Idem pour ab=b.

Si ab=e alors b=a^{-1} donc ba=a^{-1}a=e=ab  et ça commute donc G est commutatif.

Si ab\neq e alors ab=c et d'après ce qu'on a vu avant alors forcément ba\neq e donc ba = c
d'où ab=c=ba et donc G est commutatif ?

On est bon ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : groupe fini : commutativité 20-05-24 à 14:56

C'est l'idée.

Pour le dernier raisonnement, je trouve la rédaction un peu confuse.

On est parti avec l'hypothèse ab\neq ba. Si ab=c, comme ba\neq ab, on a ba\in \{e,a,b\}, et on a vu que c'est impossible.

Posté par
robby3
re : groupe fini : commutativité 20-05-24 à 15:27

oui, pardon, j'avais effectivement négliger l'hypothèse initiale.

Merci Camélia.

Posté par
Camélia Correcteur
re : groupe fini : commutativité 20-05-24 à 16:23



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