Salut,

Pour parler d'inverse... tout court, il faut que l'élément soit un inverse à gauche ET à droite. Et non, être inverse d'un élément à gauche n'implique pas forcément être inverse du même élément à droite.

Essaye d'écrire bien proprement ta démo pour me convaincre de l'inverse car là ça ressemble plus à de la bouillie qu'à une véritable démo.

On prend c dans G et d son inverse à gauche.
Calcule c.d pour voir ^^
(PS : Je pense que ta démo est fausse car tu as du simplifier à un moment par c.d = e alors que l'hypothèse dit d.c = e)

De manière générale les seul groupes où on est sûr que ce soit vrai c'est les groupes abéliens car commutatifs (et donc c.d = d.c en toutes circonstances, donc en particulier pour les inverses). Après on a sûrement pas tous les groupes qui fonctionnent là dedans, mais j'ai pas connaissance d'un autre critère plus fin ^^

Bonjour
en clair tu te demandes si on a unicité aussi pour les inverses à gauche, et pas seulement pour les inverses tout court ?

On montre plus généralement que si une loi . d'un ensemble G est associative, s'il existe dans G un neutre à droite (ie il existe e dans G tel que pour tout g de G g.e = g ) et si tout élément de G admet un symétrique à droite (ie pour tout g de G, il existe un g' de G tel que g.g' = e) alors G est un groupe.

Merci à vous deux,

lafol: Oui ma question est à peu près celle-là: Quand j'ai trouvé UN inverse à gauche de l'élément a (appartenant au groupe G), est-ce que je peux dire que c'est l'unique inverse à gauche de a et même l'unique inverse tout court de a?

Wataru: Je ne vois pas ce qui cloche dans ma démonstration (certes brouillon...):

Soit (G,*) un groupe et a un élément de G. Montrons que si a possède un inverse à gauche, cet inverse à gauche est l'unique inverse de a.

Notons b un inverse à gauche (C'est même l'unique inverse à gauche) de a. On a par définition b*a=e. En composant par b^-1 à gauche (b^-1 existe bien car puisque G est un groupe, tout élément possède un unique inverse et on a donc que b^-1*b=b*b^-1=e) et par b à droite des deux côtés de l'égalité, on obtient: b^-1*b*a*b=b^-1*e*b. on a clairement que b^-1*e*b=e et que b^-1*b*a*b=a*b. ainsi, on en déduit que a*b=e. On a donc que b est un inverse à droite pour a.
b étant inverse à gauche et à droite de a, c'est l'unique inverse de a.

Si quelqu'un peut me dire ce qu'il cloche dans mon raisonnement je suis preneur!

la preuve habituelle de l'unicité de l'inverse dans un ensemble G muni d'une loi associative et d'un neutre montre en fait que si g' est un inverse à gauche de g et si g" est un inverse à droite de g, alors g' = g" ...

puisqu'elle dit que g' = g'e = g'(gg") = (g'g)g" = eg" = g"...

En effet, j'ai trouvé cela aussi. Du coup, le raisonnement suivant est correct?

" Soit b un inverse à gauche de a. l'inverse de a que l'on note a^-1 est l'inverse à droite de a, donc b=a^-1. D'où b est l'unique inverse de a"

Donc finalement, la réponse serait bien que dans un groupe savoir qu'un élément est inverse à gauche est suffisant pour dire qu'il est l'unique inverse, je me trompe?

non, tu ne te trompes pas
puisque tu es dans un groupe, tout inverse à droite est forcément égal à l'inverse "tout court".

à gauche c'est pareil, bien sur

mais attention à ne pas t'en servir avant de savoir si ton ensemble est un groupe

D'accord merci Lafol!

Mais finalement pourquoi dans la plupart des exercices de théorie des groupes que j'ai trouvés, on vérifie toujours l'inversibilité à gauche ET à droite quand on aurait pu ne vérifier qu'une seule des deux?

peut-être parce qu'on n'a pas encore établi que l'ensemble est un groupe ?