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Niveau Maths sup
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Groupe M3(R) ?

Posté par
alexyuc
10-04-13 à 18:55

Bonsoir,

Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi M_3(\mathbb{R}) est un groupe pour la loi d'addition des matrices, mais n'en est pas un pour la loi de multiplication des matrices ?

Merci pour vos réponses.

Posté par
carpediem
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 18:57

salut

ben vérifie les propriétés d'un groupe ....

Posté par
WilliamM007
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 19:00

Si toutes les matrices étaient inversibles alors ce serait le cas...

Le groupe simple pour la multiplication est GL_n(R)

Posté par
carpediem
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 19:02

Posté par
WilliamM007
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 19:53

Posté par
carpediem
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 20:06

non pas du tout ....

Posté par
WilliamM007
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 20:54

Pas du tout ?

Vérifions ensemble alors :

Si je considère que toutes les matrices sont inversibles :

Je note * le produit matriciel.
* est interne
* est associative
Il y a un élément neutre pour * qui est la matrice identité I
Et toute matrice admet un symétrique pour * puisqu'on a supposé les matrices inversibles.

On a donc bien un groupe non ? Bien sûr toutes les matrices ne sont pas inversibles donc en vrai ce n'est pas un groupe

Et si je prends GL_n(R) ?
* est interne, associative, avec élement neutre qui appartient à Gl_n(R) qui est I.
Et tout élément admet un symétrique pour * par définition de GL_n(R)

Alors pourquoi pas du tout ?

Posté par
carpediem
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 21:03

si tu sais tant mieux ...

je ne te demande pas de faire le travail des autres ...

mon objectif est de faire avancer alexyuc par lui-même afin qu'il devienne autonome et indépendant et puisse s'approprier le savoir par lui-même !!!

si je considère ... est une hypothèse farfelue

un groupe est un ensemble muni d'une opération qui vérifie certaines propriétés

on prend l'ensemble, on prend le cours (et c'est l'occasion de réviser et de l'apprendre et on n'apprend jamais mieux que quand on va chercher l'info (on est dans l'action)plutôt que de le recevoir et l'oublier illico quand on est passif) et on vérifie ....


donc je pleure parce que tu n'as pas aidé alexyuc ....

Posté par
WilliamM007
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 21:18



Ok.  Pardon

Posté par
alexyuc
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 22:03

La loi de la multiplication pour les matrices est associative, il y a un élément neutre.
J'en déduis que pour toute matrice carrée de dimension 3, il n'y a pas forcément de symétrique dans M3(R) !

C'est bien ça ?

Posté par
alexyuc
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 22:12

Ben en effet, j'ai lu la petite conversation juste au-dessus, et j'en conclus que la propriété du groupe qui n'est pas validée ici est la dernière, celle que j'ai énoncée au-dessus.

J'ai voulu répondre à carpediem avant de lire le reste. Merci pour ton aide carpediem ! J'ai en effet relu le cours sur les groupes et sous-groupes du coup !

Et WilliamM007, ne t'inquiète pas, au début j'étais aussi du genre à répondre directement aux autres quand j'aidais des terminale ^^, mais comme dit carpediem, même si ça soulage celui qui pose la question d'avoir une réponse et de passer à autre chose, au final on le redemandera plus tard si on l'a toujours pas appris ^^ ! Mais je te remercie d'avoir eu la gentillesse de venir répondre ! ^^

Je vous laisse, demain, EPL/S ENAC ! :S c'est marrant, on se sent jamais prêt la veille d'un concours.

Bonne soirée à vous,

Cordialement.

Posté par
alexyuc
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 22:15

PS. Je pense que carpediem dira que mon raisonnement précédent est mauvais car je déduis qu'il n'y a pas forcément de symétrique d'une matrice de M3(R) dans M3(R). Je rectifie et précise donc que du fait que toute matrice de M3(R) n'est pas inversible, elle n'admet pas toujours de symétrique dans ce domaine. Donc ce n'est pas un groupe ^^ !

Posté par
WilliamM007
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 23:55

Citation :
Je rectifie et précise donc que du fait que toute matrice de M3(R) n'est pas inversible, elle n'admet pas toujours de symétrique dans ce domaine. Donc ce n'est pas un groupe ^^ !


Voilà

Bonne chance pour EPL/S ENAC !!

Posté par
carpediem
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 23:58

oui même simplement une matrice qui n'a pas d'inverse suffit pour que ce ne soit pas un groupe pour la multiplication ...

au plaisir

Posté par
carpediem
re : Groupe M3(R) ? 10-04-13 à 23:59

et donc donne -nous une matrice non inversible ...et c'est fini ...



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